Mathematik ist überall

von Stefan Müller

Teil III

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Mikromaschinen

Dünne Schichten aus Gedächtnismetallen könnten eines Tages die Antriebselemente winziger Maschinen werden, die kleiner sind als ein menschliches Haar. Über eine solche Technologie im Nanometerbereich (1nm = 1 millionstel mm) spekulierte der Nobelpreisträger Richard Feynman schon Anfang der 60er Jahre; heute ist sie Gegenstand eines aktiven Forschungsprogramms.

Weil dünne Schichten viel flexibler sind als massive Blöcke, lassen sich durch die Phasentransformation in solchen Schichten viel komplexere Strukturen erzeugen. Bhattacharya und James ([2] sagten vor kurzem eine Zeltstruktur in dünnen Schichten einer Kupfer-Zink-Aluminium Legierung voraus, die z.B. eines Tages als Pumpe in einem Mikrosystem eingesetzt werden könnte (Abb. 10).

Bild 10a Bild 10b
Abb. 10: Zeltstruktur in dünnen Schichten; oben hohe Temperatur, unten niedrige Temperatur

Neue Materialien durch Mathematik?

Eine sehr interessante Materialklasse sind magneto-elastische Materialien, die sich bei Anlegen eines Magnetfeldes ausdehnen oder zusammenziehen. Sie haben große Bedeutung als Aktuatoren ("Lautsprecher") oder Sensoren. Motiviert durch eine mathematische Theorie solcher Materialien und fanden James und Wuttig vor kurzem ein Material, dessen magneto-elastischer Effekt fünfmal so groß ist wie der des besten zuvor bekannten Materials. Diese Eigenschaft zeigt sich allerdings nur, wenn die eingesetzte Probe entlang bestimmter kristallographischer Richtungen aus dem Kristall geschnitten wird. Diese Richtungen, die schwer durch bloßes Probieren zu finden sind, werden gerade von der mathematischen Theorie vorhergesagt.

Die systematische Entwicklung von Materialien mit neuartigen Eigenschaften allein durch mathematische Theorie liegt sicher in weiter Ferne. Mathematische Modelle können aber Hinweise geben, wo interessante Phänomene zu erwarten sind und damit helfen, die Entwicklung neuer Materialien zu beschleunigen.

Mathematik und Computer

Wird man zur Lösung schwieriger Anwendungsprobleme in zwanzig Jahren noch Mathematik brauchen oder kann man dann alle Phänomene direkt am Computer simulieren, ohne komplizierte Gleichungen hinzuschreiben oder abstrakte mathematische Konzepte zu verstehen ?

Zunächst ist die Mathematik die beste Sprache, ein Problem quantitativ so zu formulieren, daß es einer Simulation zugänglich wird. Die Erfahrung zeigt auch, daß die effiziente Lösung eines Problems nur möglich ist, wenn man nach den richtigen Größen sucht. Nur so ist es zum Beispiel möglich, durch Betrachtung geeignet gemittelter Größen die Entwicklung des Klimas über lange Zeiträume zu simulieren, obwohl man das genaue Wetter in einer Woche nicht vorhersagen kann. Die "richtige" Größe zur Analyse eines Problems springt oft allerdings nicht ins Auge, sondern ist ein abstraktes Objekt, das erst durch mathematische Analyse gefunden werden muß.
Computersimulationen haben eine große Bedeutung in vielen Bereichen gefunden und waren in den letzten Jahrzehnten eine große Quelle der Inspiration für die Mathematik. Man darf darüber aber nicht vergessen, daß eine Simulation im besten Fall eine Antwort auf eine ganz bestimmte, sehr spezielle Frage gibt. Ohne Verständnis für die grundlegenden Strukturen bleibt das Resultat, selbst wenn es korrekt ist, ein isoliertes Ergebnis.

Es ist übrigens wenig bekannt, daß die enormen Fortschritte in der Computersimulation komplexer Phänome (Strömung an Flugzeugen und Autos, Verbrennungsvorgänge in Motoren, Wettervorhersage) nur etwa zur Hälfte auf der rasanten Entwicklung der Computerhardware beruhen. Die andere Hälfte stammt, wie eine US-Studie zum Höchstleistungsrechnen feststellte, aus mathematischen Innovationen.

Was gibt es in der Mathematik noch zu entdecken?

"Welche komplizierte Formel wollen Sie denn noch finden ?", werde ich manchmal von Besuchern unseres Instituts gefragt. Ich hoffe, ich habe etwas erläutern können, daß es in der Mathematik nicht so sehr um Formeln, sondern um neue Ideen geht, um die Suche nach neuen Strukturen, die scheinbar weit getrenntes verbinden, sowohl innerhalb der Mathematik als auch in der Interaktion mit den Naturwissenschaften und der Industrie.

Danksagung

Ich danke zahlreichen Freunden und Kollegen für ihre Unterstützung beim Schreiben dieses Artikels. Besonderer Dank gebührt K. Bhattacharya und Y.C. Shu.

Literatur

[1] J.M. Ball und R.D. James, Fine phase mixtures as minimizers of energy, Archive Rational Mechanics and Analysis, Vol. {\bf 100} (1987), S. 13-52.
[2] K. Bhattacharya und R.D. James, A theory of thin films of martensitic materials with applications to microactuators, eingereicht bei Journal of Mechanics and Physics of Solids (1997).
[3] K. Bhattacharya und R.V. Kohn, Symmetry, texture and the recoverable strain of shape-memory polycrystals, Acta materialia Vol. 44 (1996), S. 529-542.
[4] K. Bhattacharya und R.V. Kohn, Elastic energy minimization and the recoverable strain of polycrystalline shape-memory materials, Archive Rational Mechanics and Analysis Vol. 139, S. 99-180.
[5] S. Müller, Microstructures, phase transitions and geometry, preprint Nr. 3/1997, MPI f. Mathematik in den Naturwissenschaften,
[6] V. Sverak, Rank-1 convexity does not imply quasiconvexity, Proceedings Royal Society Edinburgh Vol. 120 (1992), S. 185-189.
[7] V. Sverak, Lower semicontinuity of variational integrals and compensated compactness, in: Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Zürich, 1994, Birkhäuser, 1995, S. 1153-1158.
[8] L. Tartar, Compensated compactness and partial differential equations, in: Nonlinear analysis and mechanics: Heriot-Watt symposium Vol. IV, R. Knops (Hrsg.), Pitman, 1979, S. 136-212.

Inhalt

  • Teil 1
    • Mathematik als Schlüsseltechnologie und Erkenntnisstrategie
    • Metalle mit Gedächtnis
    • Gedächtnis und Mikrostruktur
  • Teil 2
    • Welche Materialien haben "Gedächtnis"?
    • Polykristalle
    • Flußprobleme
  • Teil 3
    • Mikromaschinen
    • Neue Materialien durch Mathematik?
    • Mathematik und Computer
    • Was gibt es in der Mathematik noch zu entdecken?
    • Literatur

Hinweis

Der Artikel "Mathematik ist überall" ist in den DMV-Mitteilungen 1/1998, Sonderbeilage zum ICM'98 in Berlin, Seiten 32 - 36, erschienen.

Kontakt

Prof. Dr. Stefan Müller
Max-Planck Institut für Mathematik in den Naturwissenschaften
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04103 Leipzig
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11.02.2013, 16:02