Musterbildung, Energielandschaften und Skalierungsgesetze

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Forschung

Willkommen auf der Website der Forschungsgruppe „Musterbildung, Energielandschaften und Skalierungsgesetze“ des Max-Planck-Instituts für Mathematik in den Naturwissenschaften. Auf den folgenden Seiten geben wir einen Überblick über unsere Arbeit der letzten Jahre, sowie über unsere aktuelle Forschung.

Unser Ziel

Experimente und numerische Simulationen sind bewährte Methoden, um Einblicke in die Natur zu erhalten. Beide Ansätze haben allerdings einen gemeinsamen Nachteil: Einerseits gibt es gewisse Naturphänomene, welche nur schwer durch Experimente oder Simulationen zugänglich sind, beispielsweise solche, die Längenskalen verschiedenster Größenordnungen aufweisen. Andererseits fehlt es trotz experimenteller oder numerischer Untersuchungen oft am Verständnis des zugrunde liegenden Mechanismus.

An diesem Punkt setzt eine theoretische Untersuchung an: In der Physik gibt es viele mathematische Modelle, in denen nur wenige grundlegende Effekte eine große Anzahl physikalischer Phänomene hervorrufen, einschließlich solcher, die nicht durch experimentelle oder numerische Behandlung zugänglich sind. Mit der Hilfe mathematischer Untersuchungen ist es möglich, präzise Vorhersagen über Beobachtungen (experimenteller oder numerischer Natur) zu treffen, indem man sie mit den einfachen dem Modell zugrunde liegenden Effekten in Verbindung bringt. Durch den Vergleich mit dem Experiment lässt sich so die Gültigkeit eines Modells bestätigen oder widerlegen.

Der Schwerpunkt unserer Forschung ist die Untersuchung (meist kontinuierlicher) Modelle aus der Materialwissenschaft und der Fluidmechanik. Mit dieser Arbeit versuchen wir vor allem spezielle Phänomene zu verstehen, wie beispielsweise die Musterbildung oder das Auftreten von Skalierungsgesetzen, von denen wir eine Auswahl weiter unten vorstellen. Unsere technische Expertise liegt dabei im Gebiet der Variationsrechnung und dem Bereich partieller Differentialgleichungen. Darüber hinaus verwenden wir numerische Simulationen, um quantitative Vergleiche mit den analytischen Ergebnisse anstellen zu können. In den letzten Jahren spielen auch wahrscheinlichkeitstheoretische Aspekte der Modelle und Techniken eine zunehmende Rolle.

Unsere Ambition ist, es Einsichten in physikalisch relevante Phänomene zu geben und gleichzeitig die Mathematik voranzutreiben.

Überblick über unsere Arbeit

Im folgenden stellen wir nun einige von uns untersuchte Probleme vor. Für Details zu den jeweiligen Themen besuchen Sie bitte die verlinkten Seiten (auf Englisch).

 


Mikromagnetismus

Die Magnetisierung einer ferromagnetischen Probe wird beeinflusst durch externe magnetische Felder, sowie durch das selbst erzeugte Magnetfeld, materialspezifische Anisotropien und der quantenmechanischen Austauschwechselwirkung.

Durch Zusammenwirken dieser Effekte bilden sich interessante Muster, zum Beispiel in dünnen magnetischen Schichten. Wir untersuchten mitunter die Vergröberung sog. Konzertina Muster und den Übergang von symmetrischen zu asymmetrischen Domänenwänden. Details >>>


Vergröberung

Zweikomponentige Gemenge, weit entfernt vom thermodynamischen Gleichgewicht, tendieren dazu, ihre beiden Komponenten zu separieren; Tröpfchen auf einem dünnen flüssigen Substrat neigen dazu sich zu verbinden. Typischerweise entwickeln solche Systeme eine für ihren Zustand charakteristische Längenskala, die während der Evolution anwächst.

Trotz der möglichen sehr komplizierten Muster gehorcht die Geschwindigkeit, mit der der Prozess abläuft, einfachen Wachstumsgesetzen. Einige dieser Vergröberungsraten haben wir rigoros untersucht. Details >>>


Stochastische Homogenisierung

Viele heterogene Medien lassen sich durch partielle Differentialgleichungen mit zufälligen, auf kleinen Skalen variierenden Koeffizienten beschreiben. Auf makroskopischer Ebene zeigen solche Medien oft ein weniger komplexes, deterministisches Verhalten. Das Korrektor-Problem der stochastischen Homogenisierung liefert eine Gleichung, welche die mikroskopisch zufällige Beschreibung des Mediums mit dem makroskopischen Verhalten in Verbindung setzt. Da allerdings in der Praxis das Korrektor-Problem angenähert werden muss, ist eine quantitative Analyse des Approximationsfehlers notwendig.

Davon motiviert haben wir quantitative Methoden für elliptische Gleichungen mit zufälligen - möglicherweise korrelierten - Koeffizienten entwickelt. Insbesondere haben wir eine optimale Fehlerabschätzung erhalten im Fall der Approximation der homogenisierten Koeffizienten mittels Periodisierung. Details >>>


Hydrodynamischer Limes

Der hydrodynamische Limes ordnet einem einfachen mikroskopischen Modell, welches thermischem Rauschen ausgesetzt ist, eine makroskopisch kontinuierliche Entwicklung zu. Es stellt sich heraus, dass diese makroskopische Entwicklung deterministisch ist, wie viele physikalische Modelle. Auf diese Weise hilft der hydrodynamische Limes dabei zu erklären, wie makroskopische Phänomene durch mikroskopische Gesetze entstehen.

Ein Prototyp einer Anwendung auf reale Phänomene wäre die Untersuchung, wie die Spin-Wechselwirkung zu einer kontinuierlichen Beschreibung eines Magneten führt. Da allerdings solche realistischen Anwendungen noch nicht erreichbar sind untersuchen wir hauptsächlich sog. toy models („Spielzeugmodelle“) aus der statistischen Mechanik um das nötige Handwerkszeug für die Untersuchung komplizierter Modelle zu entwickeln. Details >>>


Viskose dünne Flüssigkeitsfilme

Wir untersuchen die zeitliche Entwicklung von viskosen dünnen Flüssigkeitsfilme auf flachen Festkörpern. Besonders interessiert sind wir an den Eigenschaften der mathematischen Modelle zu Beschreibung des Kontaktpunktes zwischen der Flüssigkeit, dem Festkörper und des umgebenden Gases. Die Wahl der Randbedingungen der zugrunde liegenden partiellen Differentialgleichung an diesem Punkt ist entscheidend für das makroskopische Verhalten der dünnen Schicht. Details >>>


Rayleigh-Bénard Convection

Rayleigh-Bénard convection models a fluid enclosed between two parallel isothermal plates held at fixed temperatures. If the temperature of the bottom plate is set to be higher than the top one and the distance between the plates is large enough then strong buoyancy forces will trigger bulk motion. The initially periodic motion will eventually break down, becoming turbulent and chaotic. It is of interest for applications to quantify the enhancement of heat transport due to convection in the regime of turbulences. Read more >>>

06.06.2018, 07:19