Erfolgreiche Dissertation zu Geometrischer Analysis und Konvexer Integration

Sandra Ried hat ihre Dissertation erfolgreich verteidigt. Darin befasst sie sich mit der Methode der konvexen Integration in geometrisch motivierten Fragestellungen und Anwendungen in der Fluidmechanik. Mit Hilfe der konvexen Integration lassen sich die Grenzen der Wohldefiniertheit mathematischer Probleme ausloten - also Fragen nach Existenz, Eindeutigkeit und stetiger Abhängigkeit der Lösungen von den Ausgangsdaten.

Ihre Dissertation mit dem Titel „Geometric Analysis and Convex Integration” wurde von László Székelyhidi betreut. In ihrer Forschung untersucht Sandra strukturelle Eigenschaften nichtlinearer partieller Differentialgleichungen (PDEs) und konzentriert sich dabei auf Fragen der (Nicht-)Eindeutigkeit und (Ir-)Regelmäßigkeit. Sie beschreibt ihr Forschungsziel wie folgt: „Das wichtigste Werkzeug in dieser Analyse war bisher die Methode der konvexen Integration. Diese Technik wurde in den letzten zwei Jahrzehnten auf verschiedene Anwendungsgebiete ausgeweitet. Sie beruht jedoch oft auf einer spezifischen Struktur der partiellen Differentialgleichung und ihrer Nichtlinearität. In Zukunft möchte ich daran arbeiten, den vollen Umfang und die Flexibilität von Verfahren der konvexen Integration besser zu verstehen.“

Bei nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen (PDEs) neigen Lösungen mit geringer Regularität dazu, nicht eindeutig zu sein, während eine höhere Regularität die Eindeutigkeit gewährleisten kann. Eine zentrale Fragestellung ist daher, die Regularitätsschwelle zu bestimmen, die diese beiden Bereiche voneinander trennt. Die Methode der konvexen Integration dient dazu, Lösungen im Bereich niedriger Regularität zu konstruieren, bei denen klassische Kompaktheitsverfahren versagen. Dabei nutzt sie die Flexibilität, die sich aus der Nichtlinearität der Gleichung ergibt, aus.

In ihrer Dissertation untersuchte Sandra die Flexibilität der Methode der konvexen Integration selbst anhand von zwei Beispielen.

1. Hall-Magnetohydrodynamik (Hall-MHD):
   Dieses System beschreibt die Bewegung einer Flüssigkeit unter dem Einfluss eines Magnetfelds und kann zur Modellierung von flüssigen Metallen und Plasmen verwendet werden. Für dieses System ist es möglich, Lösungen mit sehr geringer Regularität zu konstruieren, die einem beliebigen Energieprofil entsprechen, wodurch die Wohlgestelltheit stark verletzt wird. Durch die Untersuchung der stationären Hall-Gleichung konnte Sandra nachweisen, dass der Hall-Effekt genügend Starrheit induziert, um die Anwendung eines der grundlegenden Verfahren der konvexen Integration auszuschließen.
2. Isometrische Einbettungen in der Kontaktgeometrie:
   Um distanzbewahrende Einbettungen zwischen Kontaktmannigfaltigkeiten zu konstruieren, zeigte Sandra, dass sich die durch die Kontaktstruktur vorgegebenen Nebenbedingungen in das quantitative Nash-Schema für Riemannsche Mannigfaltigkeiten integrieren lassen. Dies bedeutet, dass solche Einbettungen nicht eindeutig sind, solange ihre Differentiale unterhalb einer bestimmten Hölder-Kontinuitätsschwelle liegen.

Akademischer Werdegang

Sandra Ried erwarb ihren Bachelor- und Master-Abschluss in Mathematik am Karlsruher Institut für Technologie. Sie promovierte anschließend an der Universität Leipzig, wo sie von László Székelyhidi betreut wurde. Sie setzte ihre Promotion am Max-Planck-Institut für Mathematik in den Naturwissenschaften fort, nachdem ihr Doktorvater dort zum Direktor ernannt worden war.

Im August 2024 zog sie nach Atlanta, wo sie im Frühjahr 2025 als Lehrbeauftragte an der School of Mathematics der Georgia Tech tätig war. Ab Herbst 2025 wird sie ihre Tätigkeit dort als Visiting Assistant Professor bei Michael Loss fortsetzen.

Wir gratulieren Sandra herzlich und wünschen ihr persönlich und für ihre weitere wissenschaftliche Laufbahn am Georgia Institute of Technology alles erdenklich Gute!