Mathematik - ein geistiges Auge des Menschen

von Eberhard Zeidler

Teil II

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Es gibt Themen, die die Mathematiker über die Jahrtausende hinweg bewegt haben. Dazu gehört zweifelos die faustische Frage ,,was die Welt im Innersten zusammenhält``. Einer der tiefsten heute bekannten Zusammenhänge kann mit dem Stichwort

Kraft = Krümmung

umrissen werden. Seit der Antike haben sich die Physiker um ein Verständnis der in der Welt wirkenden Kräfte (oder Wechselwirkungen) bemüht. Die Mathematiker haben versucht, die Krümmung von Kurven und Flächen zu beschreiben. Heute wissen wir, daß Physiker und Mathematiker das gleiche Ziel verfolgt haben, ohne es lange Zeit zu wissen. Von 1821 bis 1825 führte Gauß unter großen körperlichen Strapazen Landvermessungsarbeiten im Königreich Hannover durch. Dabei stellte er sich die Frage, ob man die Krümmung einer Fläche, zum Beispiel der Erdoberfläche, allein durch Messungen auf der Fläche bestimmen kann, ohne den sie umgebenden Raum zu benutzen. Die positive Antwort fand Gauß erst nach langen vergeblichen Anläufen in Gestalt einer komplizierten Formel, die er das theorema egregium nannte - das wundervolle Theorem. In seinem Göttinger Habilitationsvortrag im Jahre 1854 zeigte Bernhard Riemann (1826-1866) in Anwesenheit seines greisen Lehrers Gauß, wie man die Gaußsche Flächentheorie auf höhere Dimensionen verallgemeinern kann. Nach dem Vortrag äußerte sich Gauß außerordentlich beeindruckt über das Gehörte. Mehr als 60 Jahre später benutzte Einstein Riemanns Überlegungen, um seine allgemeine Relativitätstheorie zu formulieren. Dabei ersetzte er die Newtonsche Gravitationskraft durch die Krümmung der vierdimensionalen Raum-Zeitmannigfaltigkeit . Alle im Universum ablaufenden Gravitationsprozesse lassen sich durch eine einzige magische Formel beschreiben:


Das ist das Einstein-Hilbert Prinzip der kleinsten (oder allgemeiner der kritischen) Wirkung für das Universum. Die Größe R stellt die Krümmung des Universums dar, und  kodiert die Massen-und Energieverteilungen der Sterne und Galaxien. Es ist eine bewundernswerte Leistung des menschlichen Geistes, die Vielfalt der im Universum stattfindenden Prozesse in einer einzigen Formel zu kodieren. Insbesondere ergeben sich daraus die Existenz und die Eigenschaften schwarzer Löcher sowie die Expansion des Universums nach dem Urknall. Der Mathematiker kann zeigen, daß auf einer hinreichend hohen Abstraktionsstufe die magische Formel (1) die einfachste denkbare Formel darstellt. Einstein hat Zeit seines Lebens vergeblich nach einer einheitlichen Theorie der Materie gesucht. Im Bereich der Elementarteilchen kennen wir heute das Standardmodell der Teilchenphysik, in dem das Prinzip ,,Kraft = Krümmung`` realisiert ist. Wiederum auf einer geeignet hohen Abstraktionsebene lassen sich die elektromagnetische Wechselwirkung, die schwache Wechselwirkung, die für den radioaktiven Zerfall verantwortlich ist, und die starke Wechselwirkung, die die Atomkerne zusammenhält, durch die magische Krümmungsformel


beschreiben, die den Mathematikern lange vor Aufstellung des Standardmodells als Cartansche Strukturformel bekannt war und das Gaußsche theorema egregium verallgemeinert. Der Zusammenhang zwischen den unterschiedlichen Wegen der Mathematiker und Physiker wurde erst 1975 durch die beiden Physiker Wu von der Harvard University und Yang von der State University New York, Stony Brooke, entdeckt. Beide veröffentlichten in den Physical Reviews ein kurzes Wörterbuch, das es erlaubte, die unterschiedlichen Begriffsbildungen der Mathematiker und Physiker im Rahmen der Eichfeldtheorie zu übersetzen. Eines der großen ungelösten Probleme der modernen Physik stellt das Auffinden einer umfassenden Theorie dar, die Einsteins allgemeine Relativitätstheorie und das Standardmodell der Elementarteilchen als Näherungen bei einer geeigneten Energieskala enthält. Überall auf der Welt wird daran intensiv gearbeitet. Dabei hat sich bereits ein fruchtbarer Ideenstrom zwischen Physik und sehr abstrakten Teilen der modernen Mathematik ergeben. Das trifft zum Beispiel auf die Stringtheorie zu, in der Elementarteilchen durch schwingende Saiten ersetzt werden - wie bei einer Violine. Der Physiker Edward Witten (geboren 1951), der am Institute for Advanced Study in Princeton arbeitet, hat durch seine physikalische Intuition und seinen Gedankenreichtum völlig neue Ideen in die Mathematik eingeführt. Dafür erhielt er 1990 die höchste mathematische Auszeichnung, die Fields-Medaille, die vier Jahre zuvor Gerd Faltings (geboren 1954) vom Max-Planck-Institut für Mathematik in Bonn verliehen worden war.

Der hohe Abstraktionsgrad der modernen Mathematik, der es erlaubt, komplizierte Sachverhalte in einer scheinbar sehr einfachen Formelsprache zu schreiben, stellt eine Stärke der Mathematik dar. Damit entfernt sich jedoch der Mathematiker zugleich von vielen seiner Mitmenschen, die nicht in der Lage sind, derartige Formeln zu entschlüsseln. Formeln sind deshalb nicht der geeignete Weg, um mit einer breiten Öffentlichkeit über Mathematik zu sprechen. Alle vier Jahre findet ein Weltkongreß der Mathematiker statt. Anläßlich des Weltkongresses in Berlin im Jahre 1998 erschien ein verständnisvoll verfaßtes Essay des Dichters Hans Magnus Enzensberger über Mathematiker und die Mathematik mit dem Titel ,,Zugbrücke außer Betrieb: die Mathematik im Jenseits der Kultur``. Enzensberger macht darauf aufmerksam, daß sich Menschen selten damit brüsten, nichts von Malerei, Dichtung oder Musik zu verstehen - in der Abneigung gegenüber der Mathematik ist man sich jedoch weitgehend einig. Zweifellos trifft hier die Mathematiker aus vielerlei Gründen ein gerüttelt Maß an Schuld. Die Deutsche Mathematikervereinigung unternimmt Anstrengungen, um das Bild der Mathematik in der Öffentlichkeit zu verbessern. Es muß gelingen, daß in den Schulen eine Mathematikausbildung erfolgt, die ausgehend von interessanten, lebensnahen Fragen dem Lernenden Spaß macht - trotz der Härte des Materials. Einstein hat einmal gesagt, man solle alles so einfach wie möglich machen, aber nicht einfacher. Blickt man auf eine Partitur Johann Sebastian Bachs, dann sieht man zunächst nur die vielen Menschen unverständliche Formelsprache der Noten - eine Fülle formaler Strukturen bei einer Fuge. Bachs Musik ist jedoch viel mehr. Sie bringt die Seele zum Schwingen. So ergeht es dem Mathematiker mit seiner Wissenschaft. Wie Dichtung, Malerei und Musik stellt auch die Mathematik ein wertvolles Gut der menschlichen Kultur dar.

Neben den fundamentalen Kräften spielt die Weitergabe von Informationen - zum Beispiel Erbinformationen - eine entscheidende Rolle in der Natur. Im Jahre 1948 schuf der amerikanische Elektroingenieur und Mathematiker Claude Shannon (1916-2001) einen neuen Zweig der Mathematik - die Informationstheorie. Shannon beschäftigte sich mit der Frage nach einer effektiven Übertragung von Information in Nachrichtenkanälen. An der Spitze des Standardmodells der Informationstheorie steht die magische Formel


die überraschenderweise auf dem Begriff des Zufalls basiert. Die Zahl k stellt eine Normierungskonstante dar. In diesem Modell wird ein Zufallsexperiment durchgeführt, das genau n mögliche Ausgänge besitzt, die mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten realisiert werden. Für n = 2 denke man an den Wurf einer Münze mit den Ausgängen ,,Wappen`` und ,,Zahl``, die mit der Wahrscheinlichkeit realisiert werden. Kennt man das Ergebnis des Experiments, dann hat man nach Shannon die Information S gewonnen. Das scheint zunächst nichts mit unserer intuitiven Vorstellung von Information zu tun zu haben. Man kann jedoch zeigen, daß dieser Informationsbegriff ein Maß für die durchschnittliche Anzahl von Fragen mit Ja-Nein Antworten darstellt, die erforderlich sind, um sich über das Ergebnis des Experiments zu informieren. Im Münzexperiment genügt es beispielsweise, eine einzige Frage zu stellen. Die Physiker kannten den Begriff der Information bereits seit mehr als hundert Jahren in einem völlig anderen Zusammenhang. Sie nannten ihn Entropie. Im Jahre 1824 berechnete der französische Ingenieur Sadi Carnot (1796-1832) den optimalen Wirkungsgrad von Dampfmaschinen bei der Umwandlung von Wärmeenergie in mechanische Energie. Dabei stieß er auf einen Begriff, den Rudolf Clausius (1822-1888) im Jahre 1865 Entropie nannte. Nach dem von Clausius formulierten zweiten Hauptsatz der Thermodynamik strebt die Entropie des Universums einem Maximum zu, d. h. alle Strukturen zerfallen. Kürzlich haben Astrophysiker mit Methoden der Turbulenztheorie auf Computern das Verhalten eines weißen Zwergsterns bei einer Supernova-Explosion simuliert. Dadurch können Supernovae-Explosionen weißer Zwerge zur Entfernungsbestimmung von Galaxien in der Tiefe des Universums benutzt werden. Gleichzeitig kann man die Rotverschiebung in den Spektren der Galaxien messen. Die vom Hubble-Teleskop in diesem Zusammenhang ermittelten Beobachtungsdaten haben ergeben, daß sich unser Universum in beschleunigter Weise ausdehnt und nie wieder zusammenziehen wird. Seit dem Urknall sind rund 14 Milliarden Jahre vergangen. In 100 000 Milliarden Jahren werden alle Sterne erloschen sein. Das entspricht dem Clausiusschen Wärmetod. Es besteht allerdings die theoretische Möglichkeit, daß durch hinreichend große Quantenfluktuationen des Grundzustands unseres Universums in ferner Zukunft ein neuer Urknall gezündet wird.

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Über den Autor

Prof. Dr. Eberhard Zeidler wurde 1940 in Leipzig geboren. Dort studierte er Mathematik und Physik. 1974 wurde er zum ordentlichen Professor für Analysis an die Universität Leipzig berufen. Zusammen mit Prof. Dr. Jürgen Jost und Prof. Dr. Stefan Müller gründete er 1996 das Max-Planck-Institut für Mathematik in den Naturwissenschaften in Leipzig und war von 1996 bis 2003 dessen geschäftsführender Direktor. Er ist Mitglied der Deutschen Akademie der Naturforscher Leopoldina. Für sein Lebenswerk erhielt er den Alfried Krupp Wissenschaftspreis 2006 der Alfried Krupp von Bohlen und Halbach-Stiftung.
Prof. Zeidler starb im November 2016.

Abbildung 1: Das Einsteinkreuz

04.09.2019, 14:40