Mathematik - ein geistiges Auge des Menschen

von Eberhard Zeidler

Teil III

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Für die Erde benutzen die Physiker das folgende Bild von der Photonenmühle: Hochwertige Wärmeenergie von hoher Temperatur wird auf der Erde in geringwertige Wärmeenergie von niedriger Temperatur umgewandelt, indem von der Sonne kommende Photonen (Lichtstrahlen) in den kalten Weltraum reflektiert werden. Nach den Formeln der Thermodynamik strahlt die Erde dabei Entropie in den Weltraum ab. Den gleichen Betrag gewinnt die Erde an Information, die in der lebenden Materie kodiert ist. Es gehört zu den bewunderswerten Leistungen der Physik des 19. Jahrhunderts, daß sie neben der Maxwellschen Theorie des Elektromagnetismus, die den Prototyp des Standardmodells der Elementarteilchen darstellt, die beiden Begriffe Energie und Entropie herauskristallisierte, die die ungeheure Vielfalt thermodynamischer Prozesse in Natur und Technik beherrschen.

Den Zusammenhang zwischen Information S und Entropie erhält man im Rahmen der von Ludwig Boltzmann (1844-1906) geschaffenen statistischen Physik, die große Systeme von Molekülen mit der Mathematik des Zufalls behandelt. Dabei ergibt sich die erstaunliche Tatsache, daß alle Eigenschaften eines solchen Systems aus einer einzigen Funktion folgen, der sogenannten Zustandssumme:


In diesem Standardmodell der statistischen Physik wird vorausgesetzt, daß sich das System in n Zuständen befinden kann mit den entsprechendenden Energien und Teilchenzahlen . Ferner ist T die Temperatur, das chemische Potential und k die Boltzmannkonstante. Geleitet von genialer physikalischer Intuition, entdeckte der amerikanische Physiker Richard Feynman (1918-1988) in seiner Dissertation im Jahre 1942 in Princeton einen völlig neuen Zugang zur Quantenmechanik. Er betrachtete alle denkbaren klassischen Bahnen eines Elektrons, wichtete diese in Abhängigkeit von ihrer Wirkung und wendete darauf eine statistische Methode an. Das führte ihn auf das sogenannte Feynmanintegral


das man als eine kontinuierliche Zustandssumme für Quantenfelder und Elementarteilchen auffassen kann. Dabei bedeutet die Wirkung des Quantenfeldes , und h bezeichnet das Plancksche Wirkungsquantum. Analog zur Zustandssumme kann man alle wesentlichen Informationen über Quantenfelder und Elementarteilchen aus dem Feynmanintegral Z gewinnen. Freeman Dyson (geboren 1923), der am Institute for Advanced Study in Princeton arbeitet, berichtet in seinem Buch ,,Disturbing the Universe``, daß er monatelange Rechnungen für seinen Lehrer Hans Bethe (1906-2005) ausführte. Feynman erhielt das gleiche Ergebnis mühelos in einer halben Stunde an der Tafel. Vergeblich versuchte Dyson zu verstehen, was Feynman tat. Eines Tages - mitten im Urlaub - durchzuckte wie ein Blitz der entscheidende Gedanke Dysons Gehirn. Plötzlich war ihm klar, wie drei sehr unterschiedliche Zugänge zur Quantenelektrodynamik miteinander zusammenhingen. Dafür erhielten Feynman, Schwinger und Tomonaga gemeinsam im Jahre 1965 den Nobelpreis für Physik. Überall auf der Welt werden heute die Feynmanschen Rechenmethoden von Physikern eingesetzt, um etwa in der Quantenelektrodynamik Resultate zu erhalten, die mit dem Experiment unglaublich präzis übereinstimmen. Die Pointe besteht darin, daß vom mathematischen Standpunkt aus die Feynmansche Methode auf wackligen Füßen steht. Bis zum heutigen Tage fehlt eine strenge mathematische Rechtfertigung. Hätten die Physiker eine solche Rechtfertigung an die Spitze gestellt, dann wären sie nicht vorwärts gekommen. Die historische Erfahrung hat gezeigt, daß die Rechnung häufig klüger als der Rechner ist. Zweifelhafte, aber erfolgreiche Rechenmethoden sind bisher immer streng gerechtfertigt worden - allerdings häufig mit beträchtlicher zeitlicher Verzögerung und dann im Rahmen einer viel umfassenderen und abstrakteren mathematischen Theorie. Das wird auch für Feynmans Methode eines Tages der Fall sein. Max Planck sagte:

Wenn man nicht manchmal das Unlogische denkt, wird man niemals neue Ideen in der Wissenschaft entdecken.

Mathematiker haben über 300 Jahre erfolgreich mit imaginären (eingebildeten) Zahlen gerechnet, bevor diese von Gauß streng gerechtfertigt wurden. Die Zustandssumme kodiert die Eigenschaften von Vielteilchensystemen. In einem völlig anderen Zusammenhang sind die Mathematiker auf die Idee der Zustandssumme in der Zahlentheorie gestoßen. Der produktivste Mathematiker aller Zeiten, Leonhard Euler (1707-1783), kodierte die Eigenschaften des Systems aller Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11,... in einer einzigen Funktion, die man heute die Riemannsche Zetafunktion nennt und die bei der Berechnung von Feynmanintegralen eine wichtige Rolle spielt. Die Lösung eines berühmten offenen Problems der Mathematik - der Riemannschen Vermutung für die Zetafunktion - würde es erlauben, sehr scharfe Aussagen über die Häufigkeitsverteilung von Primzahlen zu erhalten. Gauß fand durch empirische Untersuchungen, daß sich die Anzahl der Primzahlen unterhalb der Zahl n für große n in erster Näherung wie


verhält. Beispielsweise zählte Gauß ab, daß es unterhalb von n = 3 000 000 genau 216 745 Primzahlen gibt, während die von ihm erratene Näherungsformel den Wert 216 970 liefert. Im Jahre 1896, mehr als vierzig Jahre nach dem Tode von Gauß, konnte dieses Primzahlgesetz in raffinierter Weise durch die beiden französischen Mathematiker Hadamard (1865-1963) und de la Vallée-Poussin (1866-1962) unabhängig voneinander mathematisch streng gerechtfertigt werden. In höherer Näherung treten chaotische Schwingungen auf, die der Mathematiker durch die Lösung der Riemannschen Vermutung beherrschen möchte. Es ist sehr bemerkenswert, daß Mathematiker und Physiker auf sehr unterschiedlichen Wegen darauf gestoßen sind, Vielteilchensysteme (von Primzahlen, Molekülen oder Elementarteilchen) in einer einzigen Zustandssumme (zum Beispiel einem Feynmanintegral) zu kodieren. Interessanterweise ergeben sich sowohl in der Mathematik als auch in der Physik hart zu knackende Nüsse bei der Dekodierung der Information.

Von der Schule her sind wir es gewohnt, daß für reelle Zahlen das Kommutativgesetz ab = ba gilt. Die Besonderheit vieler überraschender Quantenphänomene beruht darauf, daß in der Quantenwelt Größen eine zentrale Rolle spielen, für die das Kommutativgesetz nicht gilt. In der von Heisenberg (1902-1976) im Jahre 1925 geschaffenen Quantenmechanik, für die er 1932 den Nobelpreis für Physik erhielt, werden Ort und Impuls eines Quantenteilchens durch Größen q und p beschrieben, für welche die Relation


gilt. Daraus ergibt sich zum Beispiel rein mathematisch, daß Ort und Geschwindigkeit eines Quantenteilchens nicht gleichzeitig genau gemessen werden können. Der junge Johann von Neumann (1903-1957), der in Göttingen die explosionsartige Entwicklung der Quantenmechanik hautnah miterlebte, schuf im Jahre 1928 die mathematischen Grundlagen der Quantentheorie in Gestalt einer nichtkommutativen Operatortheorie. Die überraschenden Eigenschaften von Quantenzuständen will man beim Bau von Quantencomputern einsetzen. Hier ist die Theorie weiter als das Experiment. Verwendet man Quantenzustände als Worte, dann kann man wesentlich größere Mengen an Information kodieren als das bei den in heutigen Computern verwendeten Worten möglich ist. Das würde eine Revolution der Computertechnik auslösen. Auf dem Weltkongreß der Mathematiker 1998 in Berlin erhielt der amerikanische Informatiker und Mathematiker Peter Shor die Nevalinna-Medaille für seine bahnbrechenden theoretischen Untersuchungen über Quantencomputer. Die Idee des Quantumcomputers geht auf Feynman zurück. Nichtkommutative Strukturen werden auch eingesetzt bei der Suche nach einer Vereinigung von Gravitation und Quantentheorie im Rahmen der Quantengravitation. In einer solchen Theorie erwartet der Physiker, daß der Raum seine kontinuierliche Struktur unterhalb der Plancklänge von 10-33 cm wesentlich verändert und griesartig wird.

In der Vergangenheit war der Dialog zwischen Mathematikern und Physikern von großer Bedeutung für die Entwicklung der Mathematik und Physik. Tradionsgemäß ist die Mathematik in Algebra, Analysis, Geometrie, Logik, Numerik und Stochastik gegliedert. Um heutzutage den Dialog zwischen Mathematikern auf der einen Seite und Biologen, Chemikern, Geisteswissenschaftlern, Informatikern, Ingenieuren, Physikern auf der anderen Seite zu erleichtern, ist es ratsam, nicht die traditionelle Gliederung der Mathematik, sondern die alle Seiten interessierenden Phänomene in den Vordergrund zu stellen. Beispielsweise verfügt die Mathematik über tiefliegende Methoden zur Behandlung der folgenden Phänomene und arbeitet an deren Vervollkommnung:

  • Zeitentwicklung von Systemen (dynamische Systeme),
  • optimale Gestaltung von Prozessen,
  • Symmetrie,
  • Stabilität,
  • Stabilitätsverlust, Symmetriebrechung und Evolutionssprünge,
  • Phasenübergänge,
  • Skalenübergänge und Mikrostrukturen,
  • gefährliche Resonanzen, Turbulenz und Chaos,
  • qualitatives Verhalten von Systemen (Topologie),
  • kausale Prozesse,
  • zufällige Prozesse,
  • Information, Entropie und Komplexität,
  • kollektive Phänomene und Irreversibilität,
  • Quantenphänomene,
  • logische Prozesse,
  • verbotene Prozesse und Auswahlregeln,
  • Methoden der Modellbildung,
  • Simulation von Prozessen auf dem Computer.

In diesem Sinne kann von einer Mathematik der Zeit, des Optimalen, der Symmetrie, der Phasenübergänge, der Mikrostrukturen, des qualitativen Verhaltens von Systemen, des Zufalls, der Information, der Komplexität, der Quantisierung, der Modellbildung oder der Simulation gesprochen werden. In dem zweibändigen Teubner-Taschenbuch der Mathematik wird dieser gebietsübergreifende Aspekt der Mathematik systematisch betont. Hierzu einige Gedankensplitter.

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Inhalt

Über den Autor

Prof. Dr. Eberhard Zeidler wurde 1940 in Leipzig geboren. Dort studierte er Mathematik und Physik. 1974 wurde er zum ordentlichen Professor für Analysis an die Universität Leipzig berufen. Zusammen mit Prof. Dr. Jürgen Jost und Prof. Dr. Stefan Müller gründete er 1996 das Max-Planck-Institut für Mathematik in den Naturwissenschaften in Leipzig und war von 1996 bis 2003 dessen geschäftsführender Direktor. Er ist Mitglied der Deutschen Akademie der Naturforscher Leopoldina. Für sein Lebenswerk erhielt er den Alfried Krupp Wissenschaftspreis 2006 der Alfried Krupp von Bohlen und Halbach-Stiftung.
Prof. Zeidler starb im November 2016.

Abbildung 1: Das Einsteinkreuz

04.09.2019, 14:40