Mathematik - ein geistiges Auge des Menschen

von Eberhard Zeidler

Teil IV

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Die Theorie dynamischer Systeme reicht von der Bewegung der Planeten und Kometen bis zu Vorgängen im menschlichen Gehirn und der Ausbreitung von Epidemien wie Aids. Eine der wichtigsten Anwendungen der Mathematik in allen denkbaren Bereichen besteht darin, daß man die optimale Gestaltung von Prozessen präzis bestimmen kann. Bei der Mondlandung mußte die Raumfähre so gesteuert werden, daß sie ein Minimum an Treibstoff verbrauchte, und die Rückkehr der Apollokapsel zur Erde mußte so erfolgen, daß sich der Hitzeschild möglichst wenig erwärmte. Das konnte nicht experimentell erprobt werden, sondern wurde am Computer mit den Methoden der optimalen Steuerung berechnet, die um 1955 von dem blinden russischen Mathematiker Lew Pontrjagin (1908-1988) entwickelt wurden. Alle fundamentalen physikalischen Prozesse laufen so ab, daß die Wirkung - das Produkt aus Energie und Zeitdauer - minimal (oder zumindestens kritisch) wird. Im Zusammenhang mit seiner Suche nach einem universellen Strahlungsgesetz machte Max Planck (1858-1947) im Jahre 1900 die epochale Entdeckung, daß die Wirkung in der Natur in kleinsten Einheiten vorliegt - sie ist gequantelt. Dafür erhielt Planck 1918 den Nobelpreis für Physik. Später entwickelten Physiker und Mathematiker allgemeine Methoden, um aus Theorien mit einer kontinuierlichen Wirkung solche mit einer diskreten Wirkung zu konstruieren. Diesen Prozeß nennt man Quantisierung. Dabei stößt man auf mathematische Objekte (zum Beispiel Vektoren in unendlichdimensionalen Hilberträumen), die sowohl Wellencharakter als auch Teilchencharakter besitzen. Der Prototyp hierfür sind Einsteins Lichtquanten (Photonen), für die er 1921 den Nobelpreis für Physik erhielt.

Der Formenreichtum in der Natur ist nur möglich, weil es stabile Zustände gibt. Wesentliche Sprünge in der Zeitentwicklung eines Systems kommen dadurch zustande, daß das System unter einem äußeren Einfluß seine Stabilität verliert. Im Rahmen der Verzweigungstheorie ist die Mathematik in der Lage, die Stabilitätsgrenzen und die neu entstehenden Strukturen zu berechnen. Das steht im engen Zusammenhang mit Phasenübergängen, die ein Feld intensiver Forschung in Physik und Mathematik darstellen. Der Phasenübergang von Wasser zu Eis bei Abkühlung vermag bizarre Eisblumen an das Fenster zu zaubern. Bei der Abkühlung des Universums nach dem Urknall hat es mehrere Phasenübergänge gegeben, die nach den Vorstellungen der Physiker dazu führten, daß die zunächst vorhandene einheitliche Urkraft in die starke, schwache und elektromagnetische Wechselwirkung aufspaltete. Eine große Rolle beim Verständnis unserer Welt spielt die Mathematik der Symmetrie, die der Mathematiker auch Gruppentheorie nennt. Die Mathematikerin Emmy Noether (1882-1935) bewies 1918 in einer von Physikern heute sehr häufig zitierten Arbeit, daß aus Symmetrien Erhaltungssätze folgen. Beispielsweise gilt in einem beliebigen physikalischen System der Satz von der Erhaltung der Energie, falls neben einem ablaufenden Prozeß auch alle Prozesse möglich sind, die sich daraus durch eine konstante Zeitverschiebung ergeben. Das trifft zum Beispiel auf die Planetenbewegung zu. Nach dem Standardmodell der Elementarteilchen besteht unsere Welt aus 12 Basisteilchen: 6 Quarks und 6 Leptonen (z. B. das Elektron und das Neutrino). Hinzu kommen deren Antiteilchen (z. B. das Positron als Antiteilchen des Elektrons). Die Wechselwirkungen zwischen diesen 12 Basisteilchen werden durch 12 Austauschteilchen vermittelt: das masselose Photon (Licht), drei massereiche Vektorbosonen (z. B. radioaktiver Zerfall) und acht masselose Gluonen (z. B. Kernkräfte). Für die Masse der Vektorbosonen ist das hypothetische Higgsteilchen verantwortlich.

Der amerikanische Physiker Murray Gell-Mann (geboren 1929) sagte 1964 den Aufbau des Protons aus drei Quarkteilchen aufgrund mathematischer Symmetrieüberlegungen voraus. Für seine Theorie der unitären Symmetrie erhielt Gell-Mann im Jahre 1969 den Nobelpreis für Physik. Dieser unanschaulichen Symmetrie begegnen wir nicht in unserem täglichen Erfahrungsbereich, wohl aber in der Welt der Elementarteilchen. Mathematisch benutzt die unitäre Symmetrie die imaginäre Zahl i, die im Unterschied zu reellen Zahlen die merkwürdige Eigenschaft


besitzt und 1550 von dem italienischen Mathematiker Raffael Bombielli formal eingeführt wurde, um das Lösen gewisser Gleichungen zu ermöglichen. In der Geschichte der Mathematik beobachtet man oft, daß Konstruktionen, die zunächst aus rein innermathematischen Überlegungen eingeführt wurden, später überraschende Anwendungen ermöglichten. Beispielsweise benutzt man heutzutage einen über dreihundertundfünfzig Jahre alten, von Fermat stammenden Satz der Zahlentheorie, um Informationen in Banken sehr sicher und zugleich sehr einfach zu verschlüsseln. Gauß sagte:

Die Wissenschaft soll ein Freund der Anwendungen sein, nicht ihr Sklave.

Viele Phänomene in Natur und Technik sind mit der Verletzung von Symmetrien verbunden, auch Symmetriebrechung genannt. Die Eisblumen am Fenster besitzen eine wesentlich geringere Symmetrie als das homogene, ungefrorene Wasser. Das beobachtete Phänomen der verbotenen Spektrallinien in Molekülspektren kann mathematisch durch Symmetrieverletzungen erklärt werden. Bei Prozessen der schwachen Wechselwirkung zeigt das Experiment, daß die Spiegelungssymmetrie verletzt ist. Für gewisse Prozesse, zum Beispiel den Betazerfall von Kobalt, ist der gespiegelte Prozeß verboten. Für die zugehörige Theorie der Paritätsverletzung in der schwachen Wechselwirkung erhielten Lee und Yang 1957 den Nobelpreis für Physik. Aminosäuren können sowohl rechtsdrehend als auch linksdrehend sein. Erstaunlicherweise treten in der lebenden Materie nur linksdrehende Aminosäuren auf. Das kann daran liegen, daß rechtdrehende Aminosäuren durch Ultraviolettstrahlung zerstört werden. Man nimmt an, daß im frühen Universum eine fundamentale Supersymmetrie zwischen Elementarteilchen mit halbzahligem und ganzzahligem Spin (Eigendrehimpuls) bestand. Diese Supersymmetrie wird heute nicht mehr beobachtet. Man hofft jedoch bei den etwa 2008 beginnenden energiereichen Beschleunigerexperimenten am CERN Überbleibsel dieser Supersymmetrie in Form von Superteilchen zu beobachten und das für das Standardmodell noch fehlende Higgsteilchen zweifelsfrei nachzuweisen. Ein wichtiger Unterschied zwischen belebter und unbelebter Natur besteht darin, daß Lebensprozesse nicht zeitlich umkehrbar sind - sie sind stets irreversibel. Die Symmetrie unter Zeitspiegelung ist verletzt.

Die zentrale Methode zur mathematischen Naturbeschreibung besteht in der Aufstellung mathematischer Modelle. Ein wirkungsvolles Modell vergißt unwesentliche Einzelheiten und konzentriert sich auf das Wesentliche. Für jedes Modell ist es wichtig, seine Gültigkeitsgrenzen zu kennen, zum Beispiel die typische Energieskala des Modells. Komplizierte Prozesse wie Phasenübergänge sind dadurch gekennzeichnet, daß man mehrere Skalen miteinander verbinden muß. Für seine damit verbundene Theorie der Renormierungsgruppe erhielt der amerikanische Physiker Kenneth Wilson 1982 den Nobelpreis für Physik. Der Skalenwechsel spielt ebenfalls in der mathematischen Theorie der Mikrostrukturen von Materialien und beim Aufbau effektiver Computeralgorithmen (Mehrgitterverfahren) eine wichtige Rolle. In der Quantenchemie kennt man die mathematische Gleichung für beliebige Moleküle - die Schrödingergleichung. Im Falle großer Moleküle ist diese Gleichung jedoch wenig hilfreich, weil der Rechenaufwand zu ihrer Lösung nicht bewältigt werden kann. Quantenchemiker haben mit der Dichtefunktionalmethode ein vergröberndes Modell geschaffen, das außerordentlich erfolgreich ist. Walter Kohn erhielt hierfür zusammen mit John Pople den Nobelpreis für Chemie im Jahre 1999. In den nächsten Jahren wird man mit den Methoden der Quantenoptik (Lasertechnik) Gravitationswellen aus dem Weltall empfangen können. Von diesem neuen Fenster zum Weltall wird unter anderem erwartet, daß wir Informationen über den Zusammenstoß schwarzer Löcher erhalten. Um diese Informationen zu dekodieren, bedarf es außerordentlich komplizierter Computersimulationen. Kombiniert man Computersimulationen der molekularen Dynamik mit dem Wissen eines erfahrenen Chemikers, dann kann man gewisse kostspielige chemische Experimente bei der Herstellung eines neuen Medikaments von vornherein ausschließen. Hinter jeder Darstellung von Bildern auf dem Computerschirm verbirgt sich viel mathematisches Wissen über geometrische Modelle.

Die Aufstellung eines guten Modells ist eine Kunst, die es zu lernen gilt. Der Mathematiker ist dabei auf die experimentelle Erfahrung und die Intuition des Naturwissenschaftlers und Ingenieurs angewiesen. Der dazu notwendige Dialog ist nicht immer leicht zu führen, weil sehr unterschiedliche Denkweisen aufeinanderprallen. Es bleibt eine wichtige Aufgabe für die Zukunft, junge Menschen auszubilden, die in der Lage sind, nicht nur mathematisch, sondern auch naturwissenschaftlich zu denken.

Im Jahre 1984 veröffentlichte die American Mathematical Society einen Bericht über die Zukunft der Mathematik. Arthur Jaffe von der Harvard University schrieb damals:

Mathematical research should be as broad and as original as possible, with very long-range goals. We expect history to repeat itself: we expect that the most profound and useful future applications of mathematics cannot be predicted today, since they will arise from mathematics yet to be discovered.

Wie jede Wissenschaft besitzt auch die Mathematik ihre Grenzen. Auf die tiefen Existenzfragen des Menschen kann nur die Religion antworten. Im Harnackhaus der Max-Planck-Gesellschaft in Berlin-Dahlem findet man das Goethezitat: ,,Es ist das größte Glück des denkenden Menschen, das Erforschliche erforscht zu haben und das Unerforschliche ruhig zu verehren.``

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Inhalt

Über den Autor

Prof. Dr. Eberhard Zeidler wurde 1940 in Leipzig geboren. Dort studierte er Mathematik und Physik. 1974 wurde er zum ordentlichen Professor für Analysis an die Universität Leipzig berufen. Zusammen mit Prof. Dr. Jürgen Jost und Prof. Dr. Stefan Müller gründete er 1996 das Max-Planck-Institut für Mathematik in den Naturwissenschaften in Leipzig und war von 1996 bis 2003 dessen geschäftsführender Direktor. Er ist Mitglied der Deutschen Akademie der Naturforscher Leopoldina. Für sein Lebenswerk erhielt er den Alfried Krupp Wissenschaftspreis 2006 der Alfried Krupp von Bohlen und Halbach-Stiftung.
Prof. Zeidler starb im November 2016.

Abbildung 1: Das Einsteinkreuz

04.09.2019, 14:40