Mathematik ist überall

von Stefan Müller

Teil II

zurück zum vorhergehenden Teil

Welche Materialien haben "Gedächtnis"?

Zwei Faktoren sind für den Gedächtniseffekt entscheidend: erstens muß eine Veränderung der Kristallstruktur in Abhängigkeit von der Temperatur auftreten (Phasenübergang) und zweitens müssen sich die unterschiedlichen Phasen mischen können (eine Reihe weiterer Faktoren, wie die Abwesenheit plastischer Deformation beim Phasenübergang, seien hier der Einfachheit halber unterdrückt). Die Existenz eines Phasenübergangs und die genaue Transformation des Kristallgitters ist für viele Materialien experimentell sehr gut bekannt (z.B. durch Röntgenbeugungsexperimente).

Entscheidend ist also, welche Phasenmischungen möglich sind. Dabei ist wesentlich, daß zwei unterschiedliche Kristallgitter nur unter speziellen geometrischen Bedingungen so zusammengesetzt werden können, daß entlang der Grenzflächen keine großen Spannungen durch Fehlstellen oder überzählige Atome auftreten (Abb. 6).

Bild 6

Abb. 6: Zwei Kristallgitter können nur spannungfrei zusammentreffen, wenn sie sich nur um eine Scherung an der Grenzflächen unterscheiden (oberes Bild); im unteren Bild ist diese Bedingung verletzt und an der Grenzfläche sind überzählige Atome des rechten Gitters vorhanden.

Die genaue mathematische Untersuchung, welche Phasenmischungen für eine gegebene Zahl von Phasen auftreten können und welche globalen Deformationen des Kristalls sich auf diese Weise realisieren lassen, führt auf tiefliegende Fragen der Analysis, der Theorie der partiellen Differentialgleichungen und der Variationsrechnung, von denen viele noch ungelöst sind (vgl. [8], [1], [7], [5]). Umgekehrt hat die Untersuchung dieser Fragen zu neuen mathematischen Einsichten geführt, die zur Lösung eines der fundamentalen Probleme der Variationsrechnung beigetragen haben, das 40 Jahre ungelöst war [6]. Für Anwendungen besonders interessant ist die Frage, für welche Phasentransformationen eine feine Mischung der Tieftemperaturphasen gerade die Hochtemperaturphase ergibt. Wenn dies der Fall ist, können sich bei Abkühlung aus der Hochtemperaturphase leicht kleine Inseln (Keime) der neuen Phase in der alten Phase bilden, und es ist experimentell bekannt, daß dies für den Gedächtniseffekt wesentlich ist. In seiner Doktorarbeit an der University of Minnesota konnte Bhattacharya 1991 das entsprechende mathematische Problem lösen und zeigte, daß eine solche Phasenmischung gerade dann möglich ist (mit Ausnahme einiger genau spezifizierter Spezialfälle), wenn die Hochtemperaturphase kubisch ist, und die Phasentransformation volumenerhaltend. Die Notwendigkeit der Volumenbedingung ist übrigens leicht zu verstehen: die Mischung mehrerer Phasen, die alle größeres (oder kleineres) Volumen haben als die Ausgangsphase, kann niemals die Ausgangsphase liefern. Wenn man also nach neuen Materialien mit Gedächtnis sucht, kann man sich also auf solche beschränken, deren Transformation volumenerhaltend ist. Bhattacharyas Resultat ist experimentell sehr gut bestätigt und entspricht gerade einer Faustregel, die Metallurgen lange bekannt war.

Was ist also der Gewinn der mathematischen Analyse ? Die Faustregel ist auf grundlegende Prinzipien zurückgeführt worden, die sich mathematisch präzise formulieren lassen. Mit Hilfe dieser Prinzipien läßt sich auch Einsicht in komplexere Situationen gewinnen, wie wir gleich sehen werden.

Polykristalle

Die oben beschriebene Theorie gilt in Reinform nur für Einkristalle, also Materialien, die nur aus einem einzigen Kristallgitter bestehen. Solche Einkristalle lassen sich nur sehr aufwendig herstellen; typischerweise besteht das Material aus einer Vielzahl von kleinen Einkristallen (Körnern), die unterschiedlich orientiert sind (Abb. 7). Es gibt eine Reihe von Materialien (z.B. FeNiC), die als Einkristalle sehr gute Gedächtniseigenschaften haben, aber als Polykristalle fast völlig versagen, während zum Beispiel Nickel-Titan Legierungen sowohl als Ein- als auch als Polykristalle sehr gutes Verhalten zeigen. Vor kurzem haben Bhattacharya und Kohn erkannt ([3], [4]), daß dieses Verhalten durch die unterschiedliche Symmetrie der Transformation erklärt werden kann. Die Grundüberlegung ist die folgende. Durch die Mischung unterschiedlicher Phasen läßt sich ein Einkristall in bestimmten Richtungen besonders gut deformieren. In einem Polykristall sind für jedes Korn diese günstigen Richtungen unterschiedlich und dadurch können sich die Körner gegenseitig blockieren. Je stärker die Symmetriebrechung bei der Transformation, je mehr Phasen es also gibt, desto mehr günstige Richtungen treten auf und erleichtern die Transformation im Polykristall. Die genaue Analyse erfordert eine präzise Untersuchung der Symmetrien und sprengt den Rahmen dieser Darstellung. Die Grundidee läßt sich aber an einem einfachen Modell erläutern.

Bild 7

Abb. 7: Schematische Darstellung eines Polykristalls

Flußprobleme

Man betrachte ein Rechteck, das aus vielen kleinen Quadraten aufgebaut ist. Durch jedes Quadrat kann eine (inkompressible) Flüssigkeit strömen, aber nur in einer bestimmten Richtung. Ziel ist, eine möglichst hohen Durchsatz von der linken zur rechten Seite des Quadrats zu erzielen. Dabei ist die maximale Strömungsgeschwindigkeit vorgegeben und an den Grenzen zwischen zwei Quadraten darf keine Flüssigkeit versickern oder entspringen.

Sind alle bevorzugten Richtungen parallel zur Längsseite des Rechtecks ("Einkristall"), so wird der maximale Durchsatz erreicht. Schwanken die bevorzugten Richtungen nicht zu stark (Abb. 8), wird noch ein gewisser Durchsatz erreicht, bei zu starker Schwankung ist kein Durchsatz mehr möglich. Falls in jedem Quadrat zwei Strömungsrichtungen möglich sind (dies entspricht der Situation zahlreicher kristalliner Phasen wie bei Nickel-Titan), so ist wieder ein Fluß durch das Rechteck möglich (Abb. 9).

Bild 8a Bild 8b

Abb. 8: Der Fluß durch das Rechteck hängt von der relativen Orientierung der bevorzugten Richtungen ab

Bild 9

Abb. 9: Bei zwei bevorzugten Richtungen ist auch bei ungünstiger Orientierung der Körner ein Gesamtfluß möglich. Die bevorzugten Richtungen sind hier entweder die Achsen (+) oder die Diagonalen (x). Der Vergleich zwischen den beiden Situationen in Abb. 8 legt nahe, daß sich die Eigenschaften von Polykristallen auch durch die relative Orientierung der Körner (Textur) verbessern lassen. Unterschiedliche Produktionsverfahren wie Ziehen oder Walzen führen zu unterschiedlichen Texturen. Die systematische Untersuchung der Beziehung zwischen Textur und Gedächtnisverhalten hat gerade begonnen.

weiter mit dem nächsten Teil

 

Inhalt

  • Teil 1
    • Mathematik als Schlüsseltechnologie und Erkenntnisstrategie
    • Metalle mit Gedächtnis
    • Gedächtnis und Mikrostruktur
  • Teil 2
    • Welche Materialien haben "Gedächtnis"?
    • Polykristalle
    • Flußprobleme
  • Teil 3
    • Mikromaschinen
    • Neue Materialien durch Mathematik?
    • Mathematik und Computer
    • Was gibt es in der Mathematik noch zu entdecken?
    • Literatur

Hinweis

Der Artikel "Mathematik ist überall" ist in den DMV-Mitteilungen 1/1998, Sonderbeilage zum ICM'98 in Berlin, Seiten 32 - 36, erschienen.

09.03.2017, 13:23