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Differentialgeometrie und Minimalflächen

2. Auflage 2007 (mit J.-H. Eschenburg)

Korrekturen und Erläuterungen

Stand: November 2010 (PDF, 40 Kb)

Table of Contents

1. Der begriffliche Rahmen

1.1 Geometrie
1.2 Anschauliche und Analytische Geometrie
1.3 Glattheit
1.4 Messungen
1.5 Übungsaufgaben

2. Kurven

2.1 Bogenlänge
2.2 Die Variation der Bogenlänge
2.3 Krümmung
2.4 Totalkrümmung geschlossener ebener Kurven
2.5 Totalkrümmung von Raumkurven
2.6 Torsion
2.7 Übungsaufgaben

3. Die erste Fundamentalform

3.1 Länge und Winkel
3.2 Skalarprodukte
3.3 Flächeninhalt
3.4 Zueinander isometrische Immersionen
3.5. Übungsaufgaben

4. Die zweite Fundamentalform

4.1 Die Lageänderung des Tangentialraums
4.2 Die Gaußabbildung einer Hyperfläche
4.3 Weingarten-Abbildung
4.4 Abstandsfunktion und Parallelhyperflächen
4.5 Die lokale Gestalt einer Hyperfläche
4.6 Der Normalanteil des Krümmungsvektors
4.7 Normalenschnitte
4.8 Übungsaufgaben

5. Geodäten und Kürzeste

5.1 Die Variation der Bogenlänge auf Immersionen
5.2 Die Differentialgleichung der Geodäten
5.3 Die geodätische Exponentialabbildung
5.4 Kürzeste Kurven
5.5 Übungsaufgaben

6. Die tangentiale Ableitung

6.1 Die Christoffelsymbole
6.2 Die Levi-Civita-Ableitung
6.3 Vektorfelder längs Kurven, Parallelität
6.4 Gradient uund Hesseform
6.5 Übungsaufgaben

7. Nabelpunkte und konforme Abbildungen

7.1 Nabelpunkthyperflächen
7.2 Orthogonale Hyperflächensysteme
7.3 Konforme Abbildungen
7.4 Möbius-Transformationen
7.5 Die Stereographische Projektion
7.6 Übungsaufgaben

8. Minimalflächen

8.1 Variation des Flächeninhalts
8.2 Minimaler Flächeninhalt
8.3 Seifenhäute und mittlere Krümmung
8.4 Konforme Parameter und komplexe Zahlen
8.5 Die Weierstraß-Darstellung
8.6 Konstruktion konformer Parameter
8.7 Minimale Graphen und Satz von Bernstein
8.8 Übungsaufgaben

9. Das Plateau-Problem

9.1 Einführung
9.2 Flächeninhalt und Energie
9.3 Das Dirichletsche Prinzip
9.4 Bestimmung der Randparameter
9.5 Schwache Konformität
9.6 Ausschluss von Verzweigungspunkten
9.7 Harmonische Funktionen
9.8 Holomorphe Funktionen
9.9 Übungsaufgaben

10. Minimalflächen und Maximumprinzip

10.1 Das Maximumprinzip für minimale Hyperflächen
10.2 Hindernisse für Minimalflächen
10.3 Übungsaufgaben

11. Innere und äußere Geometrie

11.1 Von der inneren zur Riemannschen Geometrie
11.2 Die Levi-Civita-Ableitung
11.3 Der Riemannsche Krümmungstensor
11.4 Lokal euklidische Metriken
11.5 Gauß-Gleichung und Theorema Egregium
11.6 Übungsaufgaben

12. Krümmung und Gestalt

12.1 Geodätische Koordinaten
12.2 Die Jacobigleichung
12.3 Die hyperbolische Ebene
12.4 Geodätische Krümmung auf Flächen
12.5 Der Satz von Gauß-Bonnet
12.6 Zusammenhangsform und Krümmung
12.7 Der Satz von Gauß-Bonnett im Großen
12.8 Übungsaufgaben

A. Integration

A.1 Cartanableitung und Integration
A.2 Der Divergenzsatz
A.3 Integrationsbedingungen
A.4 Übungsaufgaben

B. Gewöhnliche Differentialgleichungen

B.1 Existenz und Eindeutigkeit
B.2 Lineare Differentialgleichungen
B.3 Stetige Abhängigkeit von Parametern und Anfangswerten
B.4 Differenzierbare Abhängigkeit von den Anfangswerten
B.5 Der Fluss eines Vektorfeldes
B.6 Übungsaufgaben

18.08.2017, 09:41