Springer, 1998
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Table of Contents

Einleitung: Was sind partielle Differentialgleichungen?

1. Die Laplacegleichung als Prototyp einer elliptischen partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung

1.1 Harmonische Funktionen. Greensche Funktionen. Das Dirichletproblem für die Kugel
1.2 Mittelwerteigenschaften harmonischer Funktionen. Subharmonische Funktionen. Das Maximumprinzip

2. Das Maximumprinzip

2.1 Das Maximumprinzip von E. Hopf
2.2 Das Maximumprinzip von Alexandrov und Bakelman
2.3 Maximumprinzipien fur nichtlineare Differentialgleichungen

3. Existenzverfahren I: Methoden, die auf dem Maximumprinzip beruhen

3.1 Differenzenverfahren: Diskretisierung von Differentialgleichungen
3.2 Die Perronsche Methode
3.3 Das alternierende Verfahren von H. A. Schwarz.
3.4 Randregularität

4. Existenzverfahren II: Parabolische Methoden. Die Wärmeleitungsgleichung

4.1 Die Wärmeleitungsgleichung: Definition und Maximumprinzipien
4.2 Die Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung. Beziehung zwischen Wärmeleitungsgleichung und Laplacegleichung
4.3 Das Anfangs-Randwertproblem fur die Wärmeleitungsgleichung
4.4 Diskrete Verfahren.

5. Exkurs: Die Wellengleichung und ihre Beziehungen zur Laplace- und Wärmeleitungsgleichung

5.1 Die eindimensionale Wellengleichung
5.2 Die Mittelwertmethode: Lösung der Wellengleichung mittels der Darbouxschen Gleichung
5.3 Die Energieungleichung und der Zusammenhang mit der Wärmeleitungsgleichung

6. Die Wämeleitungsgleichung, Halbgruppen und Brownsche Bewegung

6.1 Halbgruppen
6.2 Infinitesimale Erzeuger von Halbgruppen
6.3 Brownsche Bewegung

7. Das Dirichletsche Prinzip. Variationsmethoden zur Lösung partieller Differentialgleichungen (Existenzverfahren III)

7.1 Das Dirichletsche Prinzip
7.2 Der Sobolevraum W ^1,2
7.3 Schwache Lösungen der Poissongleichung
7.4 Quadratische Variationsprobleme
7.5 Abstrakte Hilbertraumformulierung des Variatiorisproblems. Ausblick auf die Methode der finiten Elemente

8. Sobolevräume und die L²-Regularitätstheorie

8.1 Allgemeine Sobolevräume. Einbettungssätze von Sobolev, Morrey und John-Nirenberg
8.2 Die L²-Regularitätstheorie: Innere Regularität schwacher Lösungen der Poissongleichung
8.3 Regularität am Rande und Regularitätsaussagen fur Lösungen allgemeiner linearer elliptischer Differentialgleichungen

9. Starke Lösungen

9.1 Die Regularitätstheorie der starken Lösungen
9.2 Ausblick auf die L^p-Regularitätstheorie und Anwendungen auf Lösungen semilinearer elliptischer Gleichungen

10. Die Schaudersche Regularitätstheorie und die Kontinuitätsmethode (Existenzverfahren IV)

10.1 Die C^α-Regularitätstheorie für die Poissongleichung.
10.2 Die Schauderschen Abschätzungen
10.3 Existenzverfahren

11. Die Mosersche Iterationstechnik und der Regularitätssatz von de Giorgi und Nash

11.1 Die Mosersche Harnackungleichung
11.2 Eigenschaften von Lösungen elliptischer Gleichungen
11.3 Die Regularität von Minima von Variationsproblemen

A. Banach-und Hilberträume. Die L^p-Räume