Die Faszination der Wechselwirkungen zwischen Mathematik und Naturwissenschaften

von  Eberhard Zeidler

Teil II

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Wellen, Korpuskeln und Quanten

Eine alte Streitfrage der Physik lautete:

Besteht das Licht aus Teilchen oder Wellen?

Hyugens propagierte im 17. Jahrhundert den Wellencharakter des Lichtes, während Newton sich zur gleichen Zeit für den Teilchencharakter des Lichts stark machte. Newton hatte insofern recht, als man zu seiner Zeit noch keine polarisierten Wellen von Vektorfeldern kannte und die ihm bekannten Experimente skalare Wellen ausschlossen.

Mitte des 19. Jahrhunderts formulierte James Clerk Maxwell seine Grundgleichungen für alle elektrischen und magnetischen Erscheinungen - die sogenannten Maxwellschen Gleichungen - und sagte die Existenz elektromagnetischer Wellen voraus, die 1888 von Heinrich Hertz experimentell nachgewiesen wurden. Damit schien die Wellennatur des Lichts in Gestalt elektromagnetischer Wellen festzustehen. Obwohl die Maxwellschen Gleichungen von unübertroffener Eleganz waren, blieben zwei wichtige Fragen offen:

  • In welchem Bezugssystem gelten diese Gleichungen,

  • und wie hat man das elektromagnetische Feld bei Übergang zu einem anderen Bezugssystem zu transformieren?

Die Antwort, die Einstein im Jahre 1905 gab, war genial und verblüffend einfach. Einstein postulierte in seiner speziellen Relativitätstheorie, dass in allen sogenannten Inertialsystemen die physikalischen Prozesse bei gleichen Anfangs- und Randbedingungen in gleicher Weise ablaufen. Speziell sind die Maxwellschen Gleichungen in jedem Inertialsystem gültig. Das hat zur Folge, dass sich Licht in jedem Inertialsystem mit der gleichen Geschwindigkeit ausbreitet. Diese Tatsache führte zu einer Revolution der klassischen Vorstellungen von Raum und Zeit. Es gibt keine absolute Zeit, wie Newton annahm. Die Zeitmessung hängt vom gewählten Inertialsystem ab. Einstein benutzte ferner die einfachste denkbare relativistisch invariante Lagrangefunktion für ein freies Teilchen, um das fundamentale Naturgesetz

Energie gleich Masse mal Quadrat der Lichtgeschwindigkeit

zu gewinnen. Dieses Gesetz beherrscht die Energieproduktion in unserer Sonne.

Zurück zu unserer Frage über die Teilchen - oder Wellennatur des Lichtes. Im gleichen Jahre 1905, in dem Einstein seine spezielle Relativitätstheorie begründete, postulierte er die Existenz von Lichtquanten, die man später Photonen nannte. Die Energie eines Photons ergibt sich nach Einstein aus der Beziehung

Energie gleich Plancksches Wirkumsquantum mal Frequenz.

Interessanterweise erhielt Albert Einstein 1921 den Physik-Nobelpreis nicht für seine spezielle und allgemeine Relativitätstheorie, sondern für seine Photonentheorie. Aus heutiger Sicht besteht das Licht weder aus elektromagnetischen Wellen noch aus Teilchen. Es besteht aus sogenannten Quanten. Grob gesprochen wird solches Objekt mathematisch durch eine von Raum und Zeit abhängige Operatorfunktion mit Werten in einem unendlichdimensionalen Hilbertraum beschrieben und besitzt sowohl Welleneigenschaften als auch Teilcheneigenschaften. Die unendliche Raumdimension ist nötig, um die unendlich vielen Freiheitsgrade eines Quantenfeldes zu erfassen. Viele der mathematischen Schwierigkeiten in der Quantenfeldtheorie rühren daher, dass der Übergang von endlich vielen zu unendlich vielen Freiheitsgraden mit qualitativ neuen Effekten verbunden ist.

Kraft gleich Krümmung

Das Photon ist aus moderner Sicht für die elektromagnetische Wechselwirkung zwischen elektrisch geladenen Teilchen (z.B. Elektronen und Positronen) verantwortlich. Wir kommen damit zu der wohl faszinierendsten Erkenntnis der modernen Physik, die man auf die Kurzformel

Kraft gleich Krümmung

bringen kann. Dabei handelt es sich um den wohl tiefsten, heute bekannten Zusammenhang zwischen Mathematik und Physik. Das möchte ich Ihnen jetzt erläutern. Das Stichwort lautet "Geometrisierung der Physik".

Wir wollen uns zunächst mit dem mathematischen Begriff der Krümmung beschäftigen. Einer der größten Mathematiker aller Zeiten war Carl Friedrich Gauß, der von 1777 bis 1855 lebte. Für ihn gab es keine Trennung zwischen reiner und angewandter Mathematik. Im Deutschen Museum in München liest man unter seinem Bildnis:

"Sein Geist drang in die tiefsten Geheimnisse der Zahl, des Raumes und der Natur; er maß den Lauf der Gestirne, die Gestalt und die Kräfte der Erde; die Entwicklung der mathematischen Wissenschaft eines kommenden Jahrhunderts trug er in sich."

Von 1821 bis 1825 führte Gauß im Königreich Hannover unter körperlichen Strapazen umfangreiche Landvermessungsarbeiten durch. Im Jahre 1827 veröffentlichte er seine allgemeine Flächentheorie - die "Disquisitiones generales circa superficies curvas". Mit diesem Werk begründete Gauß die Differentialgeometrie als mathematische Disziplin. Seine Arbeiten als Landvermesser hatten ihn auf die folgende Frage geführt:

Kann man die Krümmung einer Fläche allein durch Messungen auf der Fläche bestimmen, ohne den die Fläche umgebenden Raum zu benutzen?

Um die Beantwortung dieser Frage hat Gauß lange Zeit gerungen. Seine Antwort lautete schließlich: Ja, die Krümmung einer Fläche ist eine innere Eigenschaft der Fläche. Zur Berechnung der Krümmung benötigt man nicht den die Fläche umgebenden Raum. Das ist der Inhalt des "theorema egregiums"' von Gauß - des köstlichen Theorems. Die spätere Entwicklung von Mathematik und Physik hat gezeigt, daß Gauß mit dem "theorema egregium" eine Goldader der Mathematik entdeckt hatte mit weitreichenden Konsequenzen für die Entwicklung der modernen Physik.

In seinem Habilitationsvortrag "über die Hypothesen, die der Geometrie zu Grunde liegen" im Jahre 1854 verallgemeinerte Bernard Riemann die Gaußschen Ideen auf höherdimensionale geometrische Gebilde, die man heute Riemannsche Mannigfaltigkeiten nennt.

Drei Themen legte Riemann für die Probevorlesung vor. Von dem Wunsch beseelt, sich in den Jüngeren fortzusetzen, und im Gedenken an sein eigenes Ringen mit dem Euklidischen Parallelaxiom, wählte Gauß - der Tradition entgegen - nicht das erste, sondern das dritte Thema.

Die Vorlesung Riemanns über dieses Thema muss bei den damals schon recht schwachen Gauß einen au&szslig;erordentlich starken Eindruck hinterlassen haben. Mit einer bei ihm ungewöhnlichen Erregung sprach er auf dem Heimweg zu Wilhelm Weber über die Tiefe des Dargebotenen. Es war also gut um seine geliebte Wissenschaft bestellt. Dienten ihr solche Männer, so brauchte man um sie nicht bange sein.

Im Jahre 1908 wurde ein erster entscheidender Schritt zur Geometrisierung der Physik vollzogen. Hermann Minkowski zeigte, daß man die Einsteinsche spezielle Relativitätstheorie im Rahmen einer Geometrie für die vierdimensionale Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit verstehen kann. In seinem Vortrag vor der Gesellschaft deutscher Naturforscher und Ärzte sagte Minkowski:

"Die Anschauungen über Raum und Zeit, die ich Ihnen hier entwickeln möchte, sind auf experimentell-physikalischem Boden gewachsen. Darin liegt ihre Stärke. Ihre Tendenz ist eine radikale ... Von Stund an sollen Raum für sich und Zeit für sich völlig zu Schatten herabsinken, und nur noch eine Art Union der beiden soll Selbständigkeit bewahren."'

Einstein ging mit seiner allgemeinen Relativitätstheorie noch einen wesentlichen Schritt weiter. In der Newtonschen Mechanik wurde angenommen, dass sich die Gravitationswirkung mit unendlicher Geschwindigkeit ausbreitet. Das stand im Widerspruch zum Postulat der speziellen Relativitätstheorie, wonach sich physikalische Wirkungen höchstens mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten können. Deshalb suchte Einstein nach einer neuen Gravitationstheorie, die die Newtonsche Theorie als Näherung enthielt und - im Gegensatzzur Newtonschen Mechanik - die von den Astronomen beobachtete Periheldrehung der großen Halbachse des Merkur von 43 Bogensekunden im Jahrhundert richtig berechnen konnte. Einsteins geniale Idee bestand darin, die mathematischen Ideen Riemanns aufzugreifen und die Gravitationskraft zu geometrisieren. In der allgemeinen Relativitätstheorie beeinflussen die Massen die Krümmung der vierdimensionalen Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit. Die Bewegung der Sterne und des Lichts entspricht geodätischen Linien. Das sind vierdimensionale Raum-Zeit-Kurven, auf denen die Bogenlänge extremal wird. Zusammenfassend gilt:

Die Gravitationskraft entspricht der Krümmung der Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit.

Damit ist das Prinzip "Kraft gleich Krümmung" im Bereich der Gravitation verwirklicht. Neben der Gravitationskraft kennen wir heute noch drei weitere fundamentale Kräfte: die elektromagnetische Wechselwirkung, die schwache Wechselwirkung, die für den radioaktiven Zerfall verantwortlich ist, und die starke Wechselwirkung, die zwischen den Quarks wirkt und die Atomkerne zusammenhält. Einstein hat Zeit seines Lebens vergeblich nach einem einheitlichen geometrischen Prinzip gesucht, das nicht nur die Gravitationskraft, sondern auch die anderen fundamentalen Kräfte der Natur beschreibt. Wir kennen heute im Rahmen des Standardmodells der Elementarteilchen ein solches Prinzip. Das Zauberwort lautet:

Lokale Symmetrie und Eichfeldtheorie.

Lassen Sie uns mit der elektromagnetischen Wechselwirkung beginnen. Paul Dirac formulierte im Jahre 1928 eine Gleichung für das Elektron, welches die Quantentheorie und die spezielle Relativitätstheorie miteinander verschmolz. Unter einer lokalen Phasentransformation der Wellenfunktion des Elektrons versteht man die Multiplikation mit einer Phasenfunktion, die von Ort und Zeit abhängt. Solche Transformationen heißen auch Eichtransformationen. Postuliert man nun die lokale Symmetrie der Lagrangefunktion für das Elektron, d.h. postuliert man die Invarianz der Lagrangefunktion unter Eichtransformationen, dann geschieht etwas Erstaunliches. Dieses einfache Postulat hat zur Folge, daß man mathematisch zwingend ein zusätzliches Feld einführen muß. Wie sich herausstellt, stimmt dieses zusätzliche Feld mit dem elektromagnetischen Feld überein. Nach Quantisierung ergibt sich ferner neben dem Elektron dessen Antiteilchen - das Positron. Die Forderung nach lokaler Symmetrie liefert somit automatisch das Photon, also jenes Teilchen, welches die elektromagnetische Wechselwirkung zwischen Elektronen und Positronen vermittelt. Dieses elegante Prinzip läßt sich auch auf die starke und die schwache Wechselwirkung ausdehnen. Insgesamt zeichnet sich das Standardmodell der Elementarteilchen durch große Eleganz aus:

  1. Es gibt zwölf Basisteilchen und zwölf Wechselwirkungsteilchen, die für die fundamentalen Kräfte (mit Ausnahme der Newtonschen Gravitation) verantwortlich sind

  2. Die Basisteilchen bestehen aus sechs Quarks und sechs Leptonen, zu denen beispielsweise das Elektron und das Neutron gehören. Jedes Basisteilchen besitzt ein Antiteilchen, wobei jedoch im Kosmos die Antimaterie nur eine geringe Rolle spielt.

  3. Die Wechselwirkungsteilchen bestehen aus acht masselosen Gluonen für die starke Wechselwirkung, dem masselosen Photon für die elektromagnetische Wechselwirkung und drei massiven Vektorbosonen, die man mit den Symbolen W+, W-, und Z0,

Die klassische Maxwellsche Theorie vereinigte elektrische und magnetische Wechselwirkungen miteinander. Im modernen Standardmodell der Elementarteilchen werden die elektromagnetische und die schwache Wechselwirkung zur elektroschwachen Kraft vereinheitlicht, d.h. Licht und radioaktiver Zerfall stehen in einem engen mathematischen Zusammenhang. Die Existenz der zwei W-Bosonen und des Z-Bosons wurde theoretisch in den sechziger Jahren vorausgesagt und 1983 am CERN-Teilchenbeschleuniger in Genf experimentell nachgewiesen. Wie sehr die Physiker von der Richtigkeit dieser Theorie überzeugt waren, zeigt die Tatsache, daß Glashow, Salam und Weinberg bereits 1979, also vier Jahre vor der experimentellen Bestätigung, den Physik-Nobelpreis für diese Theorie erhielten.

Um die Massen der Vektorbosonen erklären zu können, postulierte Weinberg die Existenz eines schweren Teilchens, das man das Higgsteilchen nennt. Etwa im Jahr 2008 wird der größte Teilchenbeschleuniger der Welt am CERN seine Arbeit aufnehmen. Er kann Teilchenenergien erzeugen, die die Ruheenergie eines Protons um ungefähr das zehntausendfache übertreffen. An diesem LHC-Beschleuniger (Large Hedron Collider) hofft man ds Higgsteilchen nachzuweisen, um das Standardmodell der Elementarteilchen experimentell voll bestätigen zu können. Außerdem haben Physiker und Mathematiker in den letzten dreißig Jahren intensiv eine neue Symmetrie untersucht, die man als Supersymmetrie bezeichnet. Es liegt bereits eine supersymmetrische Erweiterung des Standardmodells der Elementarteilchen vor. Der neue Teilchenbeschleuniger am CERN soll experimentell die Frage beantworten, ob es supersymmetrische Teilchen in der Natur gibt.

Unser Ausgangspunkt war die Zauberformel "Kraft gleich Krümmung". Was hat das alles mit Krümmung zu tun? Der große französische Geometer Elie Cartan stellte sich in der ersten Hälfte unseres Jahrhunderts die Aufgabe, den Begriff der Krümmung auf immer abstraktere Gebilde zu verallgemeinern. Das führte zur Krümmungstheorie für sogenannte Hauptfaserbündel und ihre assoziierten Vektorbündel. Dabei spielt die Liesche Theorie der Symmetriegruppen eine entscheidende Rolle. Genau dieser mathematische Apparat wird in der Eichfeldtheorie der Physiker benutzt, ohne daß die Physiker dies zunächst bemerkten. Tatsächlich haben in Princeton Mitte der fünfziger Jahre Physiker und Mathematiker Tür an Tür gewohnt, ohne zu wissen, daß sie an verwandten Problemen arbeiteten. Die Physiker haben sich seit der Antike um ein Verständnis des Kraftbegriffs bemüht. Die Mathematiker wollten die Krümmung geometrischer Gebilde analysieren. Auf völlig getrennten Wegen sind so Physiker und Mathematiker zu einer mathematischen Theorie gelangt, die zeigt, daß die Krümmung von geeigneten Bündeln fundamentale Wechselwirkungen in der Natur beschreibt.

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Inhalt

Hinweis

Dieser Artikel stellt die erweiterte Fassung eines öffentlichen Vortrags dar, den der Autor auf der Jahrestagung der Deutschen Mathematiker-Vereinigung im September 2006 in Bonn gehalten hat. Dieser Vortrag wendete sich an eine breite Zuhörerschaft. Erfreulicherweise waren viele junge Menschen unter den Zuhörern. Das Ziel des Vortrags war es, auf die Vielfalt und die Schönheit der Ideen aufmerksam zu machen, die von den Naturwissenschaften in die Mathematik und in umgekehrter Richtung fließen.

Über den Autor

Prof. Dr. Eberhard Zeidler wurde 1940 in Leipzig geboren. Dort studierte er Mathematik und Physik. 1974 wurde er zum ordentlichen Professor für Analysis an die Universität Leipzig berufen. Zusammen mit Prof. Dr. Jürgen Jost und Prof. Dr. Stefan Müller gründete er 1996 das Max-Planck-Institut für Mathematik in den Naturwissenschaften in Leipzig und war von 1996 bis 2003 dessen geschäftsführender Direktor. Er ist Mitglied der Deutschen Akademie der Naturforscher Leopoldina. Für sein Lebenswerk erhielt er den Alfried Krupp Wissenschaftspreis 2006 der Alfried Krupp von Bohlen und Halbach-Stiftung.
Prof. Zeidler starb im November 2016.

09.03.2017, 13:33