Die Faszination der Wechselwirkungen zwischen Mathematik und Naturwissenschaften

von Eberhard Zeidler

Teil III

zurück zum vorhergehenden Teil

Geometrisierung der Physik

Noch ein Wort zu Geometrien. Das Leipziger Mathematische Seminar wurde 1881 von Felix Klein gegründet. Im Jahre 1872 hatte Felix Klein mit seinem Erlanger Programm versucht, Ordnung in die Vielfalt der bis dahin bekannten euklidischen und nichteuklidischen Geometrien zu bringen, indem er definierte:

Geometrien sind Invariantentheorien von Transformationsgruppen.

Das bedeutet, Felix Klein faßte eine Geometrie als Summe aller Eigenschaften auf, die bei gewissen Gruppen von Transformationen unverändert bleiben. Das unterstreicht die zentrale Rolle des Gruppenbegriffs für die Geometrie. Beispielsweise gehört jede Eigenschaft, die bei Drehungen, Verschiebungen und Spiegelungen des Raumes unverändert bleibt, zur euklidischen Geometrie, wie etwa die Begriffe "Abstand" und "rechter Winkel". Die Untersuchung ähnlicher Dreiecke gehört nicht zur euklidischen Geometrie, sondern zur sogenannten projektiven Geometrie, die sich mit Eigenschaften beschäftigt, welche bei Projektionen unverändert bleiben.

Die Geometrisierung der Physik erweist sich heute als ein wichtiges methodisches Mittel in vielen Bereichen. Hinter der geometrischen Optik, der klassischen Mechanik und der klassischen statistischen Physik verbirgt sich eine sogenannte symplektische Geometrie. Verallgemeinert man die euklidische Geometrie unserer Anschauung auf unendlichviele Dimensionen, dann erhält man die Geometrie der Hilberträume, die Quantenphänomene beschreibt. Hinter dem Eigendrehimpuls der Elektronen - dem Elektronenspin - steht eine sogenannte Cliffordalgebra mit der zugehörigen Spingeometrie. Die in der Natur vorhandenen Symmetrien führen auf nichtkommutative mathematische Strukturen, die man Liealgebren nennt. Der russische Mathematiker Yuir Manin, der bis zu seiner Emeritierung lange Zeit als Direktor am Max-Planck-Institut für Mathematik in Bonn arbeitete, schrieb im Jahre 1999:

Die mathematische Sprache der klassischen Physik basiert auf reellen Zahlen. Die Zustandräme sind glatte Mannigfalten. Die mathematische Sprache der Quantumphysik basiert dagegen auf komplexen Zahlen. Natürlicherweise ist zu erwarten, das die komplex-analytische Geometrie und die algebraische Geometrie in der Quantentheorie die Differentialgeometrie der klassischen Physik ablösen. Tatsächlich ist das in einem gewissen Sinn in den letzten zwei oder drei Jahrzehnten schon geschehen und zwar durch Streumatrizen, Twistoren, die Bewegung von Strings in zehndimensionalen Raum-Zeitmannigfaltigkeiten, Quantumkohomologie und M-Theorie. Die mathematische Physik des anbrechenden 21. Jahrhunderts hat die Konstruktion einer einheitlichen Quantumtheorie für alle fundamentalen Kräfte einschließlich der Gravitationskraft zum Ziel... In der Zwischenzeit hat sich die mathematische Physik von der traditionellen Bindung an die physikalischen Experimente der Teilchenphysik und der Kosmologie losgelöst und sich nicht nur stark mathematisiert, sondern sie ist selbst ein Teil der Mathematik geworden. Was die Entwicklung für die Mathematiker so aufregend gestaltet ist die Tatsache, dass die Physiker nicht nur neue Ideen, sondern auch mächtige neue Werkzeuge entwickelt haben und frischen Wind in die Mathematik gebracht haben.

Es besteht jedoch kein Zweifel, dass das endültige Ziel der mathematischen Physik darin besteht, die Einheit zwischen Theorie und Experiment herzustellen. Dieses wesentliche Ziel darf man nicht aus dem Auge verlieren.

Die Hintergrundstrahlung des Kosmos

Die Einsteinschen Gleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie erlauben eine Lösung, die man heute als Standardmodell der Kosmologie bezeichnet. Das entspricht einem expandierenden Universum. Die riesige Energiekonzentration kurz nach dem Urknall ist durch die Expansion stark verdünnt worden. Sie kann aber heute als sogenannte Hintergrundstrahlung des Kosmos beobachtet werden. Die schwach richtungs­abhängige Verteilung der Hintergrundstrahlung über den gesamten Himmel ist von der NASA durch umfangreiche Satellitenmessungen bestimmt worden. Die neueste Version dieses sogenannten WMAP-Experiments wurde im Frühjahr dieses Jahres abgeschlossen. Die Auswertung im Rahmen des Standardmodells der Kosmologie ergibt ein Alter unserer Welt von 13,7 Milliarden Jahren. Die Messdaten kommen aus einem Frühstadium, in dem unser Universum etwa 400 000 Jahre jung war. Mehr dazu kann man auf der Homepage der NASA finden.

Astronomische Daten, bei denen die Beobachtung und die theoretische Strukturuntersuchung einer universellen Klasse von Supernova eine besondere Rolle spielen, ergeben die bemerkenswerte Erkenntnis, dass sich unser Universum beschleunigt ausdehnt und im Verlauf von vielen Milliarden Jahren immer dunkler werden wird. In einer Spätphase dieser Entwicklung ist alle Materie einschließlich der schwarzen Löcher zerfallen, und es existieren nur noch extrem geringe Energiefragmente. Es besteht jedoch die Möglichkeit, dass durch starke Quantenfluktuationen ein neuer Urknall zündet. Das ist eine reine Spekulation, die jedoch die Phantasie und das Schöpfertum von Physikern und Mathematikern beflügelt.

Es scheint experimentell gesichert, dass etwa nur zwei Prozent der Masse und Energie des Kosmos klassischen Ursprungs sind. Der Rest besteht aus nichtklassischer dunkler Masse und dunkler Energie. Die Aufklärung der Natur dieser nichtklassischen Materie stellt eine Herausforderung an die Physik und Mathematik der Zukunft dar.

Quantengravitation

Eine fundamentale, heute noch offene Frage lautet:

Wie kann man die Quantenphysik und die Gravitationsphysik der allgemeinen Relativitätstheorie miteinander verschmelzen?

Einen möglichen theoretischen Ansatz hierfür liefert die Stringtheorie. Danach sind die fundamentalen Bausteine der Natur nicht punktförmig, sondern fadenförmig wie winzige Violinsaiten. Den unterschiedlichen Schwingungszuständen dieser sogenannten "Strings" entsprechen die in der Natur beobachteten "Elementarteilchen". Diejenigen Physiker, die sich intensiv mit Stringtheorie beschäftigen und dabei tiefgründige Mathematik einsetzen, sind fasziniert von der Tatsache, dass in den Stringtheorien ein "Teilchen" existiert, welches den Spin (Eigendrehimpuls) zwei besitzt. Somit kann man dieses Teilchen mit dem gesuchten Graviton identifizieren, welches für die Gravitationswechselwirkung in der Natur verantwortlich ist. In letzter Zeit hat man im Rahmen sogenannter dualer Modelle neue wichtige Erkenntnisse über die Struktur von Stringtheorien gewonnen, die zur Schaf­fung einer universellen Stringtheorie führen könnten, die Edward Witten programmatisch als M-Theorie (master theory) bezeichnet. Die Situation in der Stringtheorie kann heute so umrissen werden: Für die Mathematik haben sich wichtige neue Impulse ergeben, die endgültige Bestätigung durch das physikalische Experiment steht jedoch noch aus.

Die Entwicklung der Stringtheorie wurde wesentlich durch den US-amerikanischen Physiker Edward Witten geprägt, der an Einsteins früherer Wirkungsstätte - dem Institute for Adavanced Study in Princeton - tätig ist. Die Stringtheorie ist jedoch nicht der einzige Versuch, Einsteins Traum nach einer einheitlichen Theorie aller Wechselwirkungen zu verwirklichen. Andere Ansätze können mit den Stichworten

  • Schleifen-Gravitation (Abhay Ashtekar),
  • nichtkommutative Geometrie (Alain Connes) und
  • nichtkommutative Deformationen der Raum-Zeit (Julius Wess)

beschrieben werden.

In der von dem in den USA lebenden indischen Physiker Abhay Ashtekar geschaffenen Schleifen-Gravitation (loop gravitation) werden mathematische Methoden (sogenannte Monodromie-Methoden) weiterentwickelt, die bereits im Standardmodell der Elementarteilchen sehr erfolgreich waren. Die wesentliche Idee besteht darin, den unterschiedlichen Transport physikalischer Information längs geschlossener Wege mathematisch zu studieren und daraus die Krümmung und somit die wirkenden Kräfte zu berechnen. Sowohl die Stringtheorie als auch die Theorie der Schleifen-Gravitation sind in der Lage, die Hawking-Strahlung schwarzer Löcher im Rahmen der statistischen Physik zu deuten. Das soll kurz erläutert werden. Die Einsteinschen Gleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie erlauben Lösungen, die ungeheuren Massenkonzentrationen im Weltall entsprechen und schwarze Löcher genannt werden. Inzwischen zeigt die mathematische Auswertung umfangreicher astronomische Messdaten, dass in der Regel jede Galaxis in ihrem Zentrum ein schwarzes Loch besitzt. Das trifft auf jeden Fall auf unsere Galaxis zu. Ein schwarzes Loch von der Masse der Erde ist nicht größer als ein Stück Würfelzucker. Die ungeheure Massenkonzentration bewirkt, dass im Rahmen der semiklassischen Theorie alle Materie in der Umgebung des schwarzen Loches wie von einem Staubsauger aufgesaugt wird und das Licht ein schwarzes Loch nicht verlassen kann.

Berücksichtigt man jedoch die Quantenfeld-theorie, dann bewirken Quantenfluktuationen eine Erwärmung schwarzer Löcher und die Abstrahlung von Teilchen, die man als Hawking-Strahlung bezeichnet. Sowohl die Stringtheorie als auch die Schleifen-Gravitation beschreiben mikrokosmische Zustände, deren Statistik mit den Methoden der Vielteilchentheorie die Hawking-Strahlung vorhersagen. Diese sehr schwache Strahlung kann heute noch nicht experimentell nachgewiesen werden.

Die nichtkommutative Geometrie, die von dem französischen Mathematiker Alain Connes um 1980 geschaffen wurde, geht davon aus, dass Raum und Zeit unterhalb der winzigen Plancklänge von 10-35 Metern ihren Charakter wesentlich ändern oder kurz nach dem Urknall noch gar nicht existieren. Existent sind jedoch stets physikalische Zustände, die als geeignete abstrakte mathematische Objekte an der Spitze der nicht­kommutativen Geometrie stehen. In dieser mathematischen Theorie ergeben sich klassische und mögliche nicht-klassische Eigenschaften von Raum und Zeit als abgeleitete Größen aus den physikalischen Zuständen. Einer der großen Erfolge der nichtkom­mutativen Geometrie besteht darin, dass sie in der Lage ist, das Standardmodel der Elementarteilchenphysik einschließlich des Higgsteilchens aus klar formulierten Grundprinzipien abzuleiten.

Um den algebraischen Zugang zur Quantumgravitationstheorie zu verstehen, müssen wir in der Geschichte zurückgehen. Der Durchbruch in der Quantenphysik wurde im Jahre 1925 durch den vierundzwanzigjährigen Werner Heisenberg erzielt, der die moderne Quantenmechanik begründete. Heisenberg ließ sich von der Idee leiten, dass wir die Bahn und die Geschwindigkeit eines Elektrons nicht beobachten können. Deshalb führte er Fourierreihen als Basisgrößen ein, um mit deren Frequenzen und Amplituden die beobachteten Atomspektren zu beschreiben. Dabei entwickelte er einen multipli­kativen Kalkül für Fourierkoeffizienten, der sich kurze Zeit später als ein unendlich­dimensionaler Matrizenkalkül entpuppte, der heute ein Spezialfall der von Neumannschen Operatortheorie in Hilberträumen ist. Paul Dirac, der im Jahre 1928 die Quantenmechanik mit Einsteins spezieller Relativitätstheorie verschmolz, sagte rückblickend in einem Vortrag im Jahre 1968:

Ich bewundere Werner Heisenberg. Wir waren zur gleichen Zeit junge Studenten, die sich dem gleichen Forschungsgegenstand zuwanden. Heisenberg war erfolgreich, während ich mein Ziel nicht erreichte. Heisenberg stützte sich im Unterschied zu mir auf eine Fülle spektroskopischer Daten und fand dadurch den richtigen Weg, der das goldene Zeitalter der theoretischen Physik begründete.

Heisenberg entdeckte im Jahre 1927 die berühmte Unschärferelation, die besagt, dass man den Ort eines Quantenteilchens (z. B. eines Elektrons) und seine Geschwindigkeit nicht gleichzeitig messen kann. Mathematisch beruht das auf der Tatsache, dass Ort und Impuls (Masse mal Geschwindigkeit) in der klassischen Mechanik reelle Zahlen sind, in der Quantenmechanik aber zu linearen Operatoren werden, die nicht miteinander kommutieren. Das heißt, dass das Produkt dieser Operatoren nicht vertauscht werden darf. Ein Maß für die Nichtkommutativität ist das Plancksche Wirkungsquantum. Im algebraischen Zugang zur Quantengravitation werden Raum und Zeit zu Operatoren, die nicht miteinander kommutieren. Diese Theorie wurde von dem österreichischen Physiker Julius Wess entwickelt, der am Max-Planck Institut für Physik Werner Heisenberg in München tätig ist. Mit Hilfe der sogenannten Seiberg-Witten Abbildung war es ihm möglich, die Eichfeldtheorien des Standardmodells der Elementarteilchen­physik zu deformieren. Zusammen mit dem italienischen Physiker Bruno Zumino ist Julius Wess auch der Vater der supersymmetrischen Methoden in der Elementarteilchenphysik.

Welcher der soeben diskutierten Zugänge zur Quantengravitation letztlich zum Erfolg führen wird, oder ob noch völlig andersartige Methoden eingesetzt werden müssen, haben allein künftige physikalische Experimente zu entscheiden.

Für einen Überblick über aktuelle Entwicklungen der Quantengravitation verweisen wir auf den von Bertried Fauser, Jürgen Tolksdorf und dem Autor herausgegebenen neuen Sammelband, den wir am Ende zitieren werden. Dort findet man beispielsweise einen völlig neuen Zugang zur Quantengravitation, der von Felix Finster an der Universität Regensburg entwickelt worden ist. Diese Methode des sogenannten "fermionischen Projektors" startet mit einer unstrukturierten diskreten Raum-Zeit und endet auf der Basis eines allgemeinen Variationsprinzips bei der Quantenfeldtheorie auf einer kontinu­ierlichen Raum-Zeit.

Zur Zeit arbeiten die Physiker intensiv daran, ein neues Fenster zum Weltall zu öffnen. Mit Hilfe von Laserstrahlen will man in nächster Zeit (zum Beispiel in der Nähe von Hannover in einer Zweigstelle des Max-Planck Instituts Albert Einstein für Gravitati­onsphysik in Golm/Potsdam), Gravitationswellen nachzuweisen. Solche Wellen werden zum Beispiel in der Endphase eines Doppelsterns erwartet, der aus zwei ineinander stürzenden Neutronensternen besteht, oder beim Zusammenstoss zweier schwarzer Löcher. Die dabei entstehenden typischen Gravitationswellenmuster versucht man zur Zeit durch außerordentlich komplizierte Simulationen auf Computern zu bestimmen.

Hier gibt es noch viele ungelöste mathematische Fragen. Das ist eine der großen Her­ausforderungen an die numerische Mathematik.

weiter mit dem nächsten Teil

Inhalt

Hinweis

Dieser Artikel stellt die erweiterte Fassung eines öffentlichen Vortrags dar, den der Autor auf der Jahrestagung der Deutschen Mathematiker-Vereinigung im September 2006 in Bonn gehalten hat. Dieser Vortrag wendete sich an eine breite Zuhörerschaft. Erfreulicherweise waren viele junge Menschen unter den Zuhörern. Das Ziel des Vortrags war es, auf die Vielfalt und die Schönheit der Ideen aufmerksam zu machen, die von den Naturwissenschaften in die Mathematik und in umgekehrter Richtung fließen.

Über den Autor

Prof. Dr. Eberhard Zeidler wurde 1940 in Leipzig geboren. Dort studierte er Mathematik und Physik. 1974 wurde er zum ordentlichen Professor für Analysis an die Universität Leipzig berufen. Zusammen mit Prof. Dr. Jürgen Jost und Prof. Dr. Stefan Müller gründete er 1996 das Max-Planck-Institut für Mathematik in den Naturwissenschaften in Leipzig und war von 1996 bis 2003 dessen geschäftsführender Direktor. Er ist Mitglied der Deutschen Akademie der Naturforscher Leopoldina. Für sein Lebenswerk erhielt er den Alfried Krupp Wissenschaftspreis 2006 der Alfried Krupp von Bohlen und Halbach-Stiftung.
Prof. Zeidler starb im November 2016.

09.03.2017, 13:33