Die Faszination der Wechselwirkungen zwischen Mathematik und Naturwissenschaften

von Eberhard Zeidler

Teil IV

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Die Mathematisierung der Naturwissenschaften

An der Wiege der modernen Naturwissenschaft stand die Newtonsche Mechanik zusammen mit der Schaffung der Differential- und Integralrechnung durch Newton und Leibniz Ende des 17. Jahrhunderts. Seit dieser Zeit haben sich die Entwicklung von Physik und Mathematik gegenseitig stark beeinflusst und befruchtet. Die anderen Naturwissenschaften, wie Chemie und Biologie, sind noch nicht in so hohem Masse mathematisiert wie die Physik. Das ist eine Aufgabe für die Zukunft. Dabei ist allerdings zu bedenken, dass jede naturwissenschaftliche Disziplin ihren eigenen Charakter und ihre eigenen unverwechselbaren Methoden besitzt. Es gibt jedoch viele Fragestellun­gen, bei deren Beantwortung der Einsatz mathematischer Hilfsmittel bedeutungsvoll sein kann. Eines der großen Rätsel der Biologie stellt die Arbeitsweise unseres Gehirns dar. An dieser Problematik wird am Max-Planck-Institut für neuropsychologische Forschung in Leipzig gearbeitet. Die Medizin ist heute in der Lage, bei psychologischen Experimenten empfindliche elektrische und magnetische Felder an der Oberfläche des menschlichen Kopfes zu messen. Um Aufschluss über die Gehirnaktivitäten zu erhalten, versucht man, die Furchenstruktur des Gehirns und die elektromagnetischen Felder im Innern des Kopfes zu berechnen. Zum Beispiel kann man Aktivitätszonen des Gehirns durch elektrische Dipole modellieren. Die Bestimmung der Dipolorte stellt ein sogenanntes inverses mathematisches Problem dar. Das große Ziel besteht darin, die Funktionsweise der einzelnen Teile des Gehirns genau zu bestimmen. Diese Infor-mationen sollen dem Chirurgen bei Gehirnoperationen helfen, bleibende Schäden zu vermeiden.

Die Computertomographie gehört heute bereits zu den medizinischen Routineuntersuchungen. Die mathematische Grundlage stellt die sogenannte Radon-Transformation dar, die von Johann Radon im Jahre 1917 aus rein innermathematischen Überlegungen heraus entwickelt wurde. Die Aufgabe besteht darin, aus der Kenntnis der Schnitte eines geometrischen Objekts auf die Gestalt des Objekts selbst zu schließen. Früher wurden zur Untersuchung des Gehirns Kontrastmittel eingespritzt. Die heutige, auf mathematischen Methoden basierende Computertomographie ist völlig schmerzfrei. Damit erhält die Mathematik eine humane Dimension.

Im 19. Jahrhundert haben die Physiker erkannt, dass die ungeheure Fülle an thermodynamischen Prozessen in Biologie, Chemie, und Physik durch zwei Größen bestimmt wird: Energie und Entropie. Die Energie bleibt erhalten, während die gesamte Entropie des Weltalls wächst. Um 1945 begründete der US-amerikanische Ingenieur Claude Shannon die Informationstheorie, um die Übertragung von Daten in Nachrichten­kanälen optimal zu gestalten. Es stellte sich heraus, dass die Begriffe Information und Entropie auf das engste zusammenhängen. Grob gesprochen ist die Information gleich der negativen Entropie. Die Entwicklung von Lebewesen vom Einfachen zum Komplizierten in der Erdgeschichte ist mit einem Wachstum an Information und einem Verlust an Entropie verbunden. Die Entwicklung von Leben auf unserer Erde ist im Rahmen der Informationstheorie dadurch möglich, dass die Sonne ständig Energie bei hoher Temperatur einstrahlt und diese Energie von der Erde bei sehr niedriger Temperatur in den Weltraum wieder abgestrahlt wird. Diese sogenannte Photonenmühle führt dazu, dass die Erde ständig Entropie verliert und dafür Information durch Strukturbildung gewinnt. Die Entropie hat die physikalische Dimension "Joule/Kelvin" (Energie dividiert durch Temperatur).

Explizit strahlt jeder Quadratmeter der Erdoberfläche in einer Sekunde die Entropie von einem Joule/Kelvin in den Weltraum ab.

Keiner von uns würde existieren, wenn nicht unsere Eltern ihre Erbinformation an uns weitergegeben hätten. Dieser phantastische Informationstransport geschieht mit Hilfe der DNA (Nukleinsäure - deoxyribonucleicic acid). Die Entschlüsselung des menschlichen Genoms in den letzten Jahren beruhte auf einer raffinierten Kombination von experimenteller Technik mit mathematischen Methoden - der sogenannten Cluster­analyse in der mathematischen Statistik. Offensichtlich spielt bei biologischen Prozessen die außerordentliche Komplexität eine entscheidende Rolle, die weit über die in der unbelebten Materie beobachtete Komplexität hinausgeht. Eine der wichtigen Aufgaben für die Mathematik der Zukunft besteht darin, Gesetzmäßigkeiten dieser Komplexität aufzudecken.

Der Dialog zwischen Naturwissenschaftlern und Mathematikern

Um die Mathematik bei naturwissenschaftlichen Problemstellungen einzusetzen, muß der Mathematiker mit dem Naturwissenschaftler einen intensiven Dialog führen. Die Erfahrung zeigt, daß das nicht einfach ist, weil unterschiedliche Denkweisen aufeinander treffen. Der Mathematiker kann nicht erwarten, daß der Naturwissenschaftler ihm eine Frage vorlegt, die bereits perfekt in der Sprache der Mathematik formuliert ist. Diese Übersetzung ist Aufgabe des Mathematikers. Dabei ist es sehr hilfreich, wenn der Mathematiker gelernt hat, die Mathematik nicht nur nach ihren klassischen Teildisziplinen, sondern auch nach gebietsübergreifenden Phänomenen zu ordnen. Es gibt beispielsweise eine Mathematik:

  • der Symmetrie (auch Gruppentheorie genannt),
  • des Zufalls und der zufälligen Prozesse (auch Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik genannt),
  • der optimalen numerischen Simulation von komplizierten Prozessen auf Compu­tern ( auch wissenschaftliches Rechnen genannt),
  • der Stabilität von Zuständen in der Natur und der Stabilität von Computer­algorithmen gegenüber Rundungsfehlern,
  • des optimalen Verhaltens von Systemen (auch Variationsrechnung und Optimie­rung genannt),
  • des optimalen Ausgleichs unterschiedlicher Interessen (auch Spieltheorie genannt),
  • der Zeitentwicklung von Systemen (auch Theorie der dynamischen Systeme genannt),
  • des qualitativen Verhaltens von Systemen (auch Topologie genannt),
  • der Musterbildung und der Selbstorganisation,
  • der Komplexität von Vielteilchensystemen (einschließlich Chaos),
  • des Phasenübergangs in Vielteilchensystemen,
  • der Komplexität von Computeralgorithmen,
  • der Struktur von Graphen (z.B. Feynmandiagramme in der Quantenfeldtheorie oder Baumgraphen und Hopfalgebren in der Kombinatorik),
  • der Verarbeitung von klassischer Information und Quantuminformation.

Im Bereich der Quanteninformation ist die Theorie der Praxis weit vorausgeeilt. Von dem endgültigen Ziel der praktischen Realisierung von extrem leistungsfähigen Quantencomputern ist man jedoch noch sehr weit entfernt. Die Gemeinsamkeiten mathematischer Strukturen werden in der Kategorientheorie (mit Hilfe von Objekten, Morphismen, Isomorphismen und Funktoren) untersucht, die zunehmend Bedeutung in der Quantenfeldtheorie gewinnt. Die auf die Phänomene gerichtete Sichtweise wird in den beiden Bänden des TEUBNER-TASCHENBUCHES der Mathematik betont, das wir am Ende zitieren werden. Dieses Taschenbuch ist keine trockene Formel- und Faktensammlung, sondern es betont den Ideenreichtum der Mathematik mit ihren Bezügen zu vielseitigen modernen Anwendungen und zur historischen Entwicklung. Die Erfahrung zeigt, dass sich der Lernende für ein neues Wissensgebiet besonders gut motivieren lässt, wenn man ihm den historischen Hintergrund aufzeigt und wenn ihm deutlich wird, wie hart die bedeutendsten Wissenschaftler in der Vergangenheit um neue Erkenntnisse gerungen haben, die heute in kristallklarer Form in den Lehrbüchern zu finden sind. Im Jahre 1984 verfasste die American Mathematical Society einen Bericht über die Zukunft der Mathematik. Der damalige Präsident dieser Society, Arthur Jaffe von der weltberühmten Harvard University, unterstrich folgendes:

Mathematische Forschung sollte so breit und originell wie möglich sein und sehr langfristige Zielstellungen verfolgen. Wir erwarten, dass sich die Geschichte wiederholt und die tiefsten und wirkungsvollsten Anwendungen auf einer Mathematik beruhen, die wir heute noch nicht kennen und nicht vorhersagen können. Diese Mathematik muss erst noch entdeckt werden.

Es ist richtig, dass die großen Impulse für die Entwicklung einer Wissenschaft von ihren Meistern stammen. Das sollte jedoch den Einzelnen nicht entmutigen. Jeder kann seinen Beitrag leisten. Bereits im 17. Jahrhundert schrieb Blaise Pascal:

Die Menschheit verhält sich wie ein einziger Organismus, der ewig lebt und nicht aufhört zu lernen.

Es ist ein schönes Gefühl für jeden Lernenden und Lehrenden, diesem Organismus anzugehören.

Theoria cum praxi

Die Universität Leipzig, an der ich lange Zeit gearbeitet habe, wurde im Jahre 1409 gegründet. Der bedeutendste Universalgelehrte der Neuzeit, Gottfried Wilhelm Leibniz, war ihr berühmtester Student. Sein Schaffen stellte er unter das Prinzip "theoria cum praxi". Felix Klein, der schon erwähnte Begründer des Leipziger Mathematischen Seminars im Jahre 1881, schrieb:

Die größten Mathematiker aller Zeiten wie Archimedes, Newton und haben stets Theorie und Anwendungen in gleicher Weise miteinander vereint.

Epilog

Ich möchte mit einigen philosophischen Gedankensplittern schließen. Der englische Mathematiker, Sozialwissenschaftler und Philosoph Bertrand Russel, der von 1872 bis 1970 lebte und 1950 den Nobelpreis für Literatur erhielt, hat sich intensiv mit der philosophischen Dimension der Mathematik auseinandergesetzt. In den Jahren 1910 bis 1913 verfasste er mit Alfred Whitehead das monumentale dreibändige Werk "Principia Mathematica," in dem versucht wurde, die Mathematik vollständig auf eine formal-logische Grundlage zu stellen. Russels Credo lautete:

Die Mathematik führt uns über das rein menschliche hinaus in das Reich der absoluten Notwendigkeit, mit dem nicht nur unsere Welt, sondern jede mögliche Welt übereinstimmen muss.

Das ist ein sehr hoher Anspruch. Die Entwicklung der Mathematik im 20. Jahrhundert hat uns gelehrt, bescheidener zu werden. Einen wichtigen Beitrag dazu leistete der Logiker Kurt Gödel, der die Grenzen des mathematischen Denkens aufzeigte und nach seiner Emigration lange Zeit zusammen mit Einstein am Institute for Advanced Study in Princeton arbeitete. Grob gesprochen bewies Gödel in seiner Wiener Habilitationsschrift aus dem Jahre 1931, dass es nicht möglich ist, aus einem widerspruchsfreien rekursiven Axiomensystem der Arithmetik alle im Bereich der natürlichen Zahlen gelten mathematischen Aussagen abzuleiten. Insbesondere ist es nicht möglich, einen Computer mit Axiomen zu füttern, so dass er jede richtige mathematische Aussage nach endlich vielen, möglicherweise sehr vielen Schritten erhält. Die Vielfalt der Mathematik ist viel reicher. Die Beschäftigung mit ihr erfordert Phantasie und Schöpferkraft. Um einen ersten Einblick zu bekommen, empfehle ich wärmstens die Lektüre des Buches von Martin Aigner und Günter Ziegler mit dem Titel "Das Buch der Beweise." Hierzu ist zu sagen, dass der außerordentlich originelle ungarische Mathematiker Paul Erdös g ern davon sprach, dass es im Himmel ein besonderes Buch gibt, in dem die schönsten mathematischen Beweise niedergeschrieben sind. Das Buch von Martin Aigner und Günther Ziegler, der zur Zeit der Vorsitzende der Deutschen Mathematikervereinigung ist, stellt eine Reihe von Perlen der Mathematik einem großen Leserkreis vor. Der anregende, liebenswerte Stil dieses Buches kann als Vorbild für eine Darstellung der Mathematik dienen, die den Leser begeistert. In dem viel gelesenen Buch von Douglas Hofstadter, "Gödel, Escher, Bach", wird anhand von zahlreichen Beispielen erläutert, dass sowohl in der Logik Gödels als auch in der Musik Bachs und der Malerei Eschers ähnliche Strukturen auftreten, die durch ein endlos geflochtenes Band symbolisiert werden können. Richard Courant, der von 1888 bis 1972 lebte und nach der Machtergreifung des Faschismus in Deutschland emigrierte, um nach dem Vorbild seines Göttinger Instituts in New York das weltberühmte Courant Institut zu gründen, schrieb im Jahre 1964:

Das Wechselspiel zwischen Allgemeinheit und Individualität - Deduktion und Konstruktion - Logik und Phantasie - das ist die entscheidende Triebkraft einer lebensvollen Mathematik. Im Zusammenhang mit der Gewinnung eines tiefliegenden Results können eine oder mehrere dieser Seiten bedeutungsvoll sein. Eine weitreichende mathematische Entwicklung startet in der Regel von konkreten Fragestellungen, ebenso wie ein Ballon vom festen Boden startet. Dann wirft der Ballon Ballast ab, um in die höheren Schichten der Abstraktion zu gelangen. Dort kann er sich leicht bewegen und Fahrt aufnehmen. Der entscheidende Test ist jedoch die Landung des Ballons auf festem Boden, der einen neuen Landstrich erschließt. Kurz gesagt, der Flug in Neuland muss vom Konkreten starten und beim Konkreten enden.

Erich Kähler, der von 1906 bis 2000 lebte und unter anderem in Königsberg, Leipzig, Berlin und Hamburg wirkte, verfasste im Jahre 1955 für den Gedenkband zum 100. Todestag von Gauß einen Artikel mit dem Titel: "über die Beziehungen der Mathematik zu Astronomie und Physik." Dort schreibt er:

Die Mathematik ist ein Organ der Erkenntnis und eine unendliche Verfeinerung der Sprache. Sie erhebt sich aus der gewöhnlichen Sprache und Vorstellungswelt wie eine Pflanze aus dem Erdreich, und ihre Wurzeln sind Zahlen und einfache räumliche Vorstellungen... Wir wissen nicht, welcher Inhalt die Mathematik als die ihm allein angemessene Sprache verlangt, wir können nicht ahnen, in welche Ferne und Tiefe dieses geistige Auge den Menschen noch blicken lässt.

Wir begannen unseren Streifzug mit einem Blick zum nächtlichen Himmel. Dieser Anblick regt uns nicht nur an, über eherne Naturgesetze nachzudenken, sondern auch über die menschliche Unvollkommenheit, den Sinn unseres Lebens und ob hinter allem ein göttlicher Plan steht. Im Harnack-Haus der Max-Planck Gesellschaft in Berlin-Dahlem kann man Goethes Ausspruch lesen:

Das größte Glück des Menschen ist es, das Erforschliche erforscht zu haben und das Unerforschliche ruhig zu verehren.

Sartorius von Waltershausen berichtet:

Gauß hat einmal erklärt, es gebe Fragen, auf deren Beantwortung er einen unendlich viel höheren Wert legen würde als auf die mathematischen. Es seien dies die Fragen über unser Verhältnis zu Gott, über unsere Bestimmung und unsere Zukunft. Allein, so habe er geendet, ihre Lösung liege ganz unerreichbar über uns und ganz außerhalb des Gebietes der Wissenschaft.

Dieses Zitat entnehme ich der Gauß-Biographie von Erich Worbs, die mir meine Schwester Palmarum 1955 zur Konfirmation schenkte. Auf die erste Seite schrieb sie die Widmung: "Wirke im Raum für Deine Zeit, aber bleibe in der Ewigkeit zu Hause."

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Inhalt

Hinweis

Dieser Artikel stellt die erweiterte Fassung eines öffentlichen Vortrags dar, den der Autor auf der Jahrestagung der Deutschen Mathematiker-Vereinigung im September 2006 in Bonn gehalten hat. Dieser Vortrag wendete sich an eine breite Zuhörerschaft. Erfreulicherweise waren viele junge Menschen unter den Zuhörern. Das Ziel des Vortrags war es, auf die Vielfalt und die Schönheit der Ideen aufmerksam zu machen, die von den Naturwissenschaften in die Mathematik und in umgekehrter Richtung fließen.

Über den Autor

Prof. Dr. Eberhard Zeidler wurde 1940 in Leipzig geboren. Dort studierte er Mathematik und Physik. 1974 wurde er zum ordentlichen Professor für Analysis an die Universität Leipzig berufen. Zusammen mit Prof. Dr. Jürgen Jost und Prof. Dr. Stefan Müller gründete er 1996 das Max-Planck-Institut für Mathematik in den Naturwissenschaften in Leipzig und war von 1996 bis 2003 dessen geschäftsführender Direktor. Er ist Mitglied der Deutschen Akademie der Naturforscher Leopoldina. Für sein Lebenswerk erhielt er den Alfried Krupp Wissenschaftspreis 2006 der Alfried Krupp von Bohlen und Halbach-Stiftung.
Prof. Zeidler starb im November 2016.

09.03.2017, 13:34