von Stefan Müller

Teil I

Ohne Mathematik ist unser Alltag nicht vorstellbar. Telefonnetze, Fahrpläne und Lagerbestände werden mit modernen Methoden der diskreten Mathematik optimiert. Die schnelle Übertragung von Bildern durch Datenkompression benutzt unter anderem wesentlich Konzepte der harmonischen Analysis. Hocheffiziente Verschlüsselung von Daten, zum Beispiel bei Banktransaktionen im Internet, ist eine unerwartete Anwendung der Zahlentheorie. Die hochauflösende Computertomographie wurde ermöglicht durch neue mathematische Verfahren zur Bildrekonstruktion. Partielle Differentialgleichungen beschreiben eine Fülle komplexer physikalischer Prozesse, und ihre numerische Simulation spielt eine wichtige Rolle bei der Entwicklung abgasarmer Motoren, der Untersuchung der Ausbreitung von Schadstoffen und der effizienten Planung von Maßnahmen zur Reinigung verseuchter Böden. Abstrakte Methoden und Begriffe der Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie sind ein entscheidendes Hilfmittel bei der Versicherung großer Risiken und dem Handel mit Optionen geworden. So wurde der Nobelpreis für Ökonomie 1997 für eine Formel zur Berechnung des Preises von Optionen (und deren Weiterentwicklung) verliehen.

Mathematik als Schlüsseltechnologie und Erkenntnisstrategie

Die Liste der Beispiele ließe sich verlängern, und mathematische Modelle und Methoden gewinnen zunehmend an Bedeutung bei der Simulation und Optimierung ganzer Produktionsprozesse. Einen Überblick über einige aktuelle Anwendungen gibt das Buch "Mathematik - Schlüsseltechnologie für die Zukunft" (Hrsg. K.-H. Hoffmann et al., Springer Verlag, 1997), das über Verbundprojekte zwischen Universitäten und Industrie berichtet, die seit 1994 vom BMBF gefördert wurden (ein Nachfolgeprogramm ist gerade angelaufen). Die Verbindung zwischen Mathematik und Anwendungen ist allerdings keine Einbahnstraße. Fundamentale Fragen aus den Natur- und Ingenieurwissenschaften und der Ökonomie haben immer wieder Mathematiker inspiriert, nach neuen mathematischen Strukturen und Methoden zu suchen. Fouriers Untersuchungen zur Wärmeleitung haben zur Theorie der Fourierreihen und zur harmonischen Analysis geführt, Gauss' Arbeit als Landvermesser hat ihn zu seiner Flächentheorie inspiriert und die Entwicklung der Differentialgeometrie entscheidend beeinflußt, und moderne Feldtheorien der Physik haben völlig unerwartete Verbindungen zwischen Geometrie, Topologie und theoretischer Physik aufgezeigt. Umgekehrt führte die beharrliche innermathematische Suche nach Strenge, Klarheit und Universalität oft zu unerwarteten Anwendungen. Die mathematische Sprache für Einsteins Allgemeine Relativitätstheorie war vor Entdeckung der Theorie fertig, weil die Mathematiker lange vergeblich mit der Frage gerungen hatten, ob das intuitiv offensichtliche fünfte Axiom der Euklidischen Geometrie, daß sich parallele Geraden nicht schneiden, eine Konsequenz der übrigen vier Axiome ist. Dabei hatten sie schließlich entdeckt, daß neuartige Geometrien möglich sind, wenn man das Parallelenaxiom fallen läßt. Genau diese Geometrien sind für die Formulierung der Allgemeinen Relativitätstheorie entscheidend.

Metalle mit Gedächtnis

Wie findet Interaktion von Mathematik und Naturwissenschaften statt? Ohne Anspruch auf eine allgemeine Antwort möchte ich einige Beispiele von Anwendungen der Mathematik in den Materialwissenschaften, die meinen eigenen Interessen nahestehen, beschreiben. Eine faszinierende Materialklasse sind die sogenannten Gedächtnismetalle. Sie lassen sich bei niedriger Temperatur leicht in unterschiedliche Formen biegen, kehren aber bei Erhitzung stets zu ihrer Ausgangsform zurück, als ob sie ein "Gedächtnis" für diese Form hätten. Diesen Effekt kann man zum Beispiel einzusetzen, um ein medizinisches Gerät im zusammengefalteten Zustand in den Körper einzubringen, und dann durch vorsichtiges Erhitzen zu entfalten, wenn es seinen Bestimmungsort erreicht hat. Nach dem gleichen Prinzip funktionieren die Entfaltung von Sonnensegeln bei Satelliten oder temperaturempfindliche Ventile, die kaltes Wasser durchlassen, aber heißes blockieren. Eine Reihe weiterer Anwendungen ist in Tabelle 1 zusammengestellt.

Tabelle 1: Einige Anwendungen von Gedächtnismetallen

Abb. 1: Kubisches und tetragonales Kristallgitter

Abb. 2: Aus der kubischen Phase können drei tetragonale Phasen entstehen

Gedächtnis und Mikrostruktur

Wie kommt das "Formgedächtnis" zustande ? Die Gedächtnismetalle sind bei Raumtemperatur Kristalle, d.h. ihre Atome sind auf einem periodischen Gitter angeordnet (Abb. 1). Die Struktur des Gitters hängt von der Temperatur ab. Bei hoher Temperatur können die Atome z.B. an den Eckpunkten eines Würfels sitzen. Bei Abkühlung unter eine kritische Temperatur, die Transformationstemperatur, wird eine Achse des Würfels spontan gestreckt, die anderen beiden gestaucht und es entsteht ein quaderförmiges Gitter. Genauer gesagt können drei unterschiedliche quaderförmige (tetragonale) Gitter entstehen (Abb. 2). Der Punkt ist, daß sich durch Mischung unterschiedlicher Gittertypen (man spricht auch von Phasen) ganz unterschiedliche Deformationen des Gesamtkristalls erreichen lassen (Abb. 3). Das Material ist bei niedriger Temperatur flexibel, da unterschiedliche Phasenmischungen möglich sind, aber kehrt bei hoher Temperatur zu einem festen Zustand zurück, da es nur eine Phase gibt (Abb. 4).

Abb. 3: Je nach Mischung der unterschiedlichen Phasen kommt es zu einer Streckung oder Stauchung des Gesamtkristalls Abb. 4: Schematische Illustration des Gedächtniseffekts

Die Mischung der Phasen geschieht auf einer feinen Skala und häufig in komplexen Mustern (Abb. 5). Die Steuerung von Materialeigenschaften durch Analyse und Beeinflussung der Mikrostruktur ist eines der grundlegenden Themen der Materialwissenschaften. Die mathematischen Untersuchungen zu Gedächtnismetallen, die ich beschreiben möchte, gehen daher von folgenden Fragen aus:

Abb. 5: Mikrostruktur in Cu-Al-Ni (Chu & James, University of Minnesota), Bildausschnitt ca. 1mm

• Welche Mikrostrukturen sind möglich ?
• Wie beeinflußt die Mikrostruktur das Materialverhalten ?
• Warum tritt der Gedächtniseffekt nur bei bestimmten Metallegierungen auf ?

weiter mit dem nächsten Teil

• Teil 1
  
  • Mathematik als Schlüsseltechnologie und Erkenntnisstrategie
    
  • Metalle mit Gedächtnis
    
  • Gedächtnis und Mikrostruktur
• Teil 2
  
  • Welche Materialien haben "Gedächtnis"?
    
  • Polykristalle
    
  • Flußprobleme
• Teil 3
  
  • Mikromaschinen
    
  • Neue Materialien durch Mathematik?
    
  • Mathematik und Computer
    
  • Was gibt es in der Mathematik noch zu entdecken?
    
  • Literatur

Hinweis

Der Artikel "Mathematik ist überall" ist in den DMV-Mitteilungen 1/1998, Sonderbeilage zum ICM'98 in Berlin, Seiten 32 - 36, erschienen.