Exponentielle Integratoren basierend auf Runge-Kutta-Verfahren

Zur Lösung gewisser Klassen steifer oder oszillatorische Differentialgleichungen haben sich exponentielle Integratoren bewährt. Diese haben die Eigenschaft, dass lineare Probleme exakt integriert werden.

In einer neueren Arbeit von Munthe-Kaas [2] werden Lie-Gruppen Methoden basierend auf expliziten Runge-Kutta-Verfahren vorgestellt, welche ebenfalls zu exponentiellen Integratoren führen. Die dort vorgeschlagene Konstruktion lässt sich auch ohne den Hintergrund der Lie-Gruppen Methoden anwenden. Die Idee ist, eine geeignete Koordinatentransformation durchzuführen und die transformierte Gleichung mit einem expliziten Verfahren, etwa einem Runge-Kutta-Verfahren, numerisch zu integrieren. Dies ist natürlich nur dann sinnvoll, wenn die transformierte Differentialgleichung nicht mehr steif bzw. nicht mehr oszillatorisch ist. Wir zeigen im Vortrag, wie man solche Transformationen erhalten kann. Die Vorgehensweise ist deshalb attraktiv, da man ein bewährtes explizites Runge-Kutta-Verfahren (wie etwa das Verfahren von Dormand und Prince) auf einfache Art und Weise zu einem exponentiellen Integrator mindestens gleicher Ordnung machen kann.

Im Vortrag werden weitere Eigenschaften, Implementierung und Konstruktion von Verfahren mit höherer Ordnung für differentiell algebraische Gleichungen erläutert. Zudem werden Vergleiche mit der Klasse exponentieller Integratoren aus [1] durchgeführt.

Literatur
M. HOCHBRUCK, CH. LUBICH, AND H. SELHOFER, Exponential intergrators for large systems of differential equations. SIAM J. Sci. Comp. 19 (1998), 1552-1574.
H. MUNTHE-KAAS, High order Runge-Kutta methods on manifolds, Appl. Numer. Math. 29 (1999), 115-127.