Vorträge für Schüler*innen der Oberstufe

Der Vortrag veranschaulicht anhand realer Beispiele die Kernkonzepte der Statistik. Er gibt Einblick in Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie und erklärt Begriffe wie beispielsweise Zufallsvariable, Wahrscheinlichkeitsverteilung und Wahrscheinlichkeitsdichte. Ziel des Vortrags ist es, oft verwirrend erscheinende und teilweise miteinander verwechselte Themen wie Hypothesentests und die verschiedenen Fehlerarten in der Inferenz auf anschauliche Weise verständlich zu machen.

Minimalflächen überspannen einen Raum mit gegebener Berandung oder schließen ein vorgegebenes Volumen mit kleinstmöglicher Oberfläche ein. Dies führt zu Formen mit ausbalancierten Krümmungen, die in vielfältiger Weise in der Natur wie im technischen und künstlerischen Bereich (Olympiadach in München) realisiert sind. Der Vortrag erläutert die allgemeinen geometrischen Prinzipien und führt verschiedene Beispiele zur Computersimulation von Minimalflächen komplexer und visuell ansprechender räumlicher Strukturen vor.

Immer wenn es um paarweise Wechselwirkungen zwischen gleichartigen Elementen geht, bietet sich eine Modellierung mittels des mathematischen Konzeptes des Graphen an. Ganz unterschiedliche Inhalte, sich gegenseitig regulierende Gene in einer Zelle, Signale austauschende Gehirnzellen, durch Flüge verbundene Städte, miteinander verlinkte Webseiten oder Emails austauschende Gruppen führen zu einer ähnlichen formalen Struktur.
Diese Struktur kann dann mit mathematischen Methoden auf universelle und spezifische Eigenschaften hin untersucht werden. Auf diese Weise sind in den letzten Jahren wichtige Gesetzmäßigkeiten hinsichtlich der Herausbildung stabiler Netzwerkstrukturen gefunden worden. Die Anwendungen reichen von der Biologie über die Infrastruktur und Technik bis in die Sozialwissenschaften.

Wie viele Ecken, Kanten und Flächen kann ein Polyeder haben? Lässt sich ein Netzwerk von Leitungen überschneidungsfrei aufzeichnen? Und wie viele Farben braucht man zum Färben einer Landkarte auf einem Donut? All diese Fragen hängen eng mit dem Konzept der Euler-Charakteristik zusammen, der wir uns in diesem Vortrag interaktiv nähern wollen.

Gleichungssysteme begleiten die Menschen seit sehr langer Zeit, mit frühesten Beispielen von vor über 4000 Jahren. In den letzten 200 Jahren hat ihre Bedeutung nochmals stark zugenommen und ist bei naturwissenschaftlichen oder technischen Berechnungen, mit oftmals Millionen oder gar Milliarden Gleichungen, ein unverzichtbarer Bestandteil. Damit einher geht die stete Suche nach effizienten Lösungsverfahren, um immer größere Systeme lösen zu können. Wir möchten einen kleinen Einblick in die Geschichte dieser Entwicklung geben und dabei die jeweiligen Fortschritte beleuchten, welche zum Teil eng mit unserem Institut verbunden sind.

Kann man einen Stollen so unter 3 Personen aufteilen, dass jeder glaubt, er wurde gerecht aufgeteilt? Die Antwort der Mathematik hierauf lautet: „Ja, zumindest wenn einige vernünftige Annahmen stimmen, wie zum Beispiel, dass es keine beliebig kleinen Rosinen gibt.“ Aber was heißt das?

Beginnen wir zunächst einmal mit einem Spiel und analysieren dieses. Das Spiel zeigt Möglichkeiten auf, wie man geschickt Freunde und Familie beim Spielen über den Tisch ziehen kann und liefert gleichzeitig einen Beweis des sogenannten Lemmas von Sperner, mit dessen Hilfe sich ein wichtiger Satz der modernen Analysis beweisen lässt. Keine Angst – dies wollen wir nicht tun, vielmehr nutzen wir Sperners Lemma, um unser oben genanntes Stollenteilungsproblem zu lösen.

Ein künstliches Neuron kann man als eine mathematische Funktion betrachten, und ein neuronales Netz als eine Zusammensetzung von Einzelneuronen. Dabei sind die Ausgaben von manchen Neuronen die Eingaben von anderen Neuronen. Dadurch können ziemlich vielfältige Funktionen entstehen, die etwa Fotos als Eingabe nehmen und die Namen der draufstehenden Personen ausgeben. In diesem Vortrag diskutieren wir die Optimierungsaufgabe, die darin besteht, die Kopplungen zwischen Neuronen in dem Netz so anzupassen, dass eine gewünschte Funktion möglichst genau dargestellt wird. 

In diesem Vortrag geht es um kürzeste Verbindungen. Wir beginnen mit einem Hindernisproblem: Personen A und B stehen vor bzw. hinter dem Teich – entlang welchen Weges kommt A am schnellsten zu B? Dann geht es um kürzeste Verbindungen auf der Kugeloberfläche – auch dort gibt es Dreiecke, deren Winkelsumme aber nicht 180 Grad ist. Schließlich geht es um Dreiecke auf Flächen mit Kanten und Ecken. Der Vortrag bietet mit Hilfe von Modellen und Gummibändern einen experimentellen Zugang zum Thema Differentialgeometrie.

In Mathe lernen wir Kurvendiskussion und das Lösen quadratischer Gleichungen. Warum? Wer quadratische Gleichungen lösen kann, findet die Antwort auf viele Fragen des Alltags. Sie dienen beispielsweise zur Lösung komplexer Probleme, etwa in der Statistik oder bei der Optimierung von Daten. Und sie sind Grundlage der Algebra, einer wunderschönen und nützlichen mathematischen Disziplin, die am Max-Planck-Institut für Mathematik in den Naturwissenschaften zur Untersuchung unterschiedlichster mathematischer Fragestellungen angewandt wird.

Es ist oft nützlich, komplizierte Datensätze mit einfachen mathematischen Funktionen, wie z. B. Polynomen, zu beschreiben. Ich werde dieses Verfahren anhand von Beispielen erläutern. In meinem Hauptbeispiel handelt es sich bei den Daten um die Höhenstufen des Ätnas in Sizilien, die an vielen verschiedenen Punkten des Vulkans gemessen wurden. Eine polynomielle Annäherung führt zu einer erheblichen Datenkompression und schönen Bildern.

Dieser Vortrag wird in Englischer Sprache gehalten.

Auf der Erde gibt es immer mindestens einen windstillen Ort. Eine Kokosnuss kann man nicht kämmen. Ein Kernfusionsreaktor sieht aus wie ein Doughnut. Diese zunächst zusammenhangslos erscheinenden Aussagen lassen sich alle mit dem mathematischen Konzept der Eulercharakteristik erklären. Im Vortrag wird die Eulercharakteristik für verschiedene geometrische Objekte anschaulich definiert und berechnet. Es werden einige der elegantesten Sätze der Mathematik präsentiert, die verschiedene Teilgebiete wie Geometrie, Topologie und Graphentheorie miteinander in Verbindung bringen.