On convex functions with values in semilinear spaces

Halbgeordnete semilineare Räume können Eigenschaften haben, die in halbgeordneten Vektorräumen nicht erfüllbar sind. Zum Beispiel kann ein nichttrivialer halbgeordneter Vektorraum nicht ordnungsvollständig (das heißt jede Teilmenge besitzt Supremum und Infimum) sein. Letztere Eigenschaft spielt jedoch schon in Rockafellars "Convex Analysis" eine entscheidende Rolle. Deshalb werden dort die reellen Zahlen um ein größtes und ein kleinstes Element erweitert, und zwar in einer Weise, die es erfordert, viele Ausnahmefälle zu betrachten. So muss zum Beispiel in der Jensenschen Ungleichung der Fall [[n.n.]] ausgeschlossen werden und bei der Definition der Summe konvexer Funktionen muss man sich auf eigentliche Funktionen beschränken. Es scheint daher günstiger zu sein, die semilineare Struktur der um f(x) =- ∞ erweiterten reellen Zahlen auszunutzen. Semilineare Strukturen spielen aber auch in der mengenwertigen Optimierung eine Rolle.

Für erweitert reellwertige konvexe Funktionen gilt der folgende Satz: Eine konvexe Funktion ±∞ mit einem Funktionswert f : X → [ -∞, +∞] in einem Punkt f(x₀) > -∞ nimmt nirgends in X den Wert x₀ ∈ core (dom f) an.

Aus einem entsprechendem Satz für konvexe Funktionen mit Werten in semilinearen Räumen werden neben dem genannten Satz ein Theorem von Deutsch und Singer (1993) über die Punktwertigkeit konvexer mengenwertiger Abbildungen sowie weitere neue Aussagen über die Kompaktwertigkeit konvexer mengenwertiger Abbildungen abgeleitet.