On convex functions with values in semilinear spaces

Halbgeordnete semilineare R"aume k"onnen Eigenschaften haben, die in halbgeordneten

Vektorr"aumen nicht erf"ullbar sind. Zum Beispiel kann ein nichttrivialer halbgeordneter Vektorraum nicht

ordnungsvollst"andig (das hei"st jede Teilmenge besitzt Supremum und Infimum) sein. Letztere Eigenschaft

spielt jedoch schon in Rockafellars ''Convex Analysis'' eine entscheidende Rolle. Deshalb werden dort die

reellen Zahlen um ein gr"o"stes und ein kleinstes Element erweitert, und zwar in einer Weise, die es

erfordert, viele Ausnahmef"alle zu betrachten. So muss zum Beispiel in der Jensenschen Ungleichung der

Fall ausgeschlossen werden und bei der Definition der Summe konvexer Funktionen muss man

sich auf eigentliche Funktionen beschr"anken. Es scheint daher g"unstiger zu sein, die semilineare

Struktur der um erweiterten reellen Zahlen auszunutzen. Semilineare Strukturen spielen aber

auch in der mengenwertigen Optimierung eine Rolle.

F"ur erweitert reellwertige konvexe Funktionen gilt der folgende

Satz: Eine konvexe Funktion mit einem Funktionswert in

einem Punkt nimmt nirgends in X

den Wert an. Aus einem entsprechendem Satz f"ur konvexe

Funktionen mit Werten in semilinearen R"aumen werden neben dem

genannten Satz ein Theorem von Deutsch und Singer (1993) "uber

die Punktwertigkeit konvexer mengenwertiger Abbildungen sowie

weitere neue Aussagen "uber die Kompaktwertigkeit konvexer

mengenwertiger Abbildungen abgeleitet.