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Neuer Beweis zur Lösung einer Klasse stochastischer partieller Differentialgleichungen

Veröffentlicht am 10. Juli 2024

Eine aktuelle Arbeit von Felix Otto, Markus Tempelmayr, Pablo Linares und Pavlos Tsatsoulis stellt einen neuen Ansatz zur Lösung einer Klasse von stochastischen partiellen Differentialgleichungen vor. Die Forschungsergebnisse wurden nun in Inventiones mathematicae veröffentlicht.

Viele Modelle in der Kontinuumsphysik, die thermische Fluktuationen beinhalten, haben die Form von partiellen Differentialgleichungen, die durch Rauschen angetrieben werden. Typischerweise ist die Rauheit des Rauschens so, dass die konstitutiven Nichtlinearitäten im Modell durch eine Renormierung einen Sinn erhalten müssen. Unser Direktor Felix Otto, Markus Tempelmayr, Pablo Linares und Pavlos Tsatsoulis erforschen in ihrer kürzlich veröffentlichten Arbeit eine Variante der vom Fields-Medaillisten Martin Hairer begründeten Theorie von Regularitätsstrukturen, die als bedeutender Durchbruch auf dem Gebiet dieser singulären stochastischen partiellen Differentialgleichungen gilt. Die Wissenschaftler identifizierten eine Methode, mit der sich eine bestimmte Klasse derartiger Gleichungen lösen lässt. Die Ergebnisse wurden in der Juli-Ausgabe von Inventiones mathematicae veröffentlicht.

„Bis dahin war eher ein Mysterium, wie man diese Gleichungen löst“, erläutert Markus Tempelmayr. „Der neue Beweis stellt einen ‚Werkzeugkasten‘ bereit, mit dem sich solche Gleichungen behandeln lassen.“ Im Gegensatz zu Hairers Theorie, die Methoden verwendet, die zu anschaulichen Baumdiagrammen führen, ist der neue Ansatz eher analytisch und „top-down“ als kombinatorisch und „buttom-up“. Die Wissenschaftler interessieren sich besonders für die Frage, wie sich die Lösung der Gleichung verändert, wenn der zugrunde liegende stochastische Prozess geringfügig modifiziert wird. Ihre Methode basiert auf einer kleineren Indexmenge als bei Bäumen, die ein renormiertes Modell konstruieren und stochastisch abschätzen, so wie auch in einer früheren Arbeit vorgeschlagen. Dabei werden Feynman-Diagramme vermieden, aber dennoch eine vollautomatische, induktive Methode zum Einsatz gebracht.

Den Autoren, die gemeinsam als Wissenschaftler am Max-Planck-Institut für Mathematik in den Naturwissenschaften an dem Thema forschten, ist es gelungen, eine einfachere Methode zur Lösung dieser Klasse von Gleichungen mit zufälligen Komponenten zu entwickeln und zu validieren. Ihr Ansatz stellt eine hervorragende Alternative dar, die sich an verschiedene Problemstellungen und Situationen anpassen lässt. Deshalb sind die Erkenntnisse auch für Forschungsgruppen, die andere Methoden anwenden, sehr wertvoll.

Originalpublikation
P. Linares, F. Otto, M. Tempelmayr, P. Tsatsoulis (2024): A diagram-free approach to the stochastic estimates in regularity structures. Inventiones mathematicae. 2024, DOI: doi.org/10.1007/s00222-024-01275-z