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Workshop

Kontrolle der instationären Navier-Stokes Gleichungen

  • Michael Hinze
G3 10 (Lecture hall)

Abstract

Diskutiert werden jüngste Ergebnisse aus den Bereichen

  1. Optimale Kontrolle: über den zu untersuchenden Zeithorizont wird ein Optimierungsproblem formuliert. Die Kosten zur Erreichung des Kontrollziels im Zustandsraum und die Kosten der Kontrolle werden mittels eines problemabhängigen Funktionals mathematisch bewertet. Dieses Funktional wird mit den Navier-Stokes Gleichungen als Nebenbedingungen minimiert. Auf diese weise werden Steuerungen erhalten, welche dem System auf dem vorher festgelegten Zeithorizont aufgeprägt werden können. Präsentiert werden analytische und numerische Resultate.
  2. Moving Horizon control: Die Navier-Stokes Gleichungen werden in der Zeit diskretisiert. Zu ausgewählten Zeitpunkten werden die Kosten zur Erreichung des Kontrollziels im Zustandsraum und die Kosten der Kontrolle zu diesem Zeitpunkt mittels eines problemabhängigen Funktionals mathematisch bewertet. Dieses Funktional wird nun unter einer stationären Nebenbedingung, welche von der gewählten Diskretisierung der Navier-Stokes Gleichungen abhängt, näherungsweise minimiert. Mit der so gewonnenen instantanen Kontrolle wird das System bis zum nächsten Kontrollzeitpunkt geregelt. Präsentiert werden sowohl analytische als auch numerischen Resultate.
  3. Systemreduktion und Kontrolle: Die Zustandsgleichungen werden mittels eines Galerkinansatzes diskretisiert. Die Navier-Stokes Gleichungen als Zustandsgleichungen werden in den zuvor genannten Zugängen durch die reduzierten Zustandsgleichungen ersetzt und Kontrollen bzw. Regler wie oben beschrieben numerisch berechnet. Grundlegend für den Erfolg dieses Zugangs ist die Wahl der Basis für den Galerkinansatz. In zahlreichen Testbeispielen wurden mit der Snapshot-Proper Orthogonal Decomposition und der Reduced Basis Method sehr gute Ergebnisse erzielt. Diskutiert wird die Anwendbarkeit dieses Zuganges für die Kontrolle von Strömungen, numerische Beispiele werden präsentiert.

Wolfgang Hackbusch

Max Planck Institute for Mathematics in the Sciences

Ronald Kriemann

Max Planck Institute for Mathematics in the Sciences