Adaptive Gebietszerlegungsverfahren auf nichtkonformen Gittern
- Ronald Hoppe (Universität Augsburg)
Abstract
Gebietszerlegungsmethoden sind eine Klasse iterativer Verfahren zur numerischen Lösung von Randwert- bzw. Anfangs- Randwertaufgaben für partielle Differentialgleichungen und für Systeme derartiger Gleichungen. Die zugrundeliegende Idee besteht in einer Zerlegung des Rechengebietes in Teilgebiete und einer Diskretisierung der Teilgebietsprobleme bei Verwendung finiter Elemente oder anderer Diskretisierungstechniken unter besonderer Berücksichtigung der Kopplung der Teilgebietsprobleme über die Teilgebietsränder. In algorithmischer Hinsicht sind diese Verfahren von partikulärem Interesse insofern, als sie die Möglichkeit zur Implementation auf Rechnern paralleler Architektur bieten.
Wir betrachten Gebietszerlegungsverfahren bezüglich nichtüberlappender, geometrisch konformer Zerlegungen des Rechengebietes unter Verwendung individueller Finite-Elemente-Diskretisierungen der Teilgebietsprobleme ungeachtet der Situation auf den Teilgebietsrändern, so dass typischerweise eine global nichtkonforme Approximation vorliegt. Zur Gewährleistung der Konsistenz bedarf es der Realisierung schwacher Stetigkeitsbedingungen auf den Teilgebietsrändern vermöge geeignet gewählter Lagrangescher Multiplikatoren.
Die Schwerpunkte der Ausführungen liegen auf
- der Konstruktion derartiger Multiplikatoren für elliptische Randwertprobleme in zwei und drei Raumdimensionen,
- der iterativen Lösung der resultierenden Sattelpunktprobleme unter Verwendung von Multilevelstrukturen,
- der Realisierung adaptiver Gitteranpassungen auf der Grundlage effizienter und zuverlässiger a posteriori Fehlerschätzer.
Betrachtet werden die numerische Lösung von Randwertproblemen für elliptische Differentialoperatoren 2. Ordnung bei Diskretisierung durch Lagrangesche Finite Elemente und von Randwertproblemen im Zusammenhang mit der Berechnung quasistationärer elektromagnetischer Felder bei Verwendung curl-konformer Kantenelemente.
Numerische Ergebnisse illustrieren sowohl die asymptotische Optimalität und parallele Effizienz der Lösungsverfahren als auch die Effektivität der verwendeten Fehlerschätzer.
