Analyse und Aufzählung von Polyedernetzwerken in Kristallen

Kristallstrukturen werden häufig auf dem Niveau von Koordinationspolyedern untersucht, die Atomkomplexe mit strengen Bindungen beschreiben. Benachbarte Koordinationspolyeder können über Ecken, Kanten oder Flächen miteinander verbunden sein. Wir zeigen, wie sich auf diese Weise gebildete unendliche Polyedernetzwerke durch periodische Graphen endlich repräsentieren lassen. Damit können einige wichtige Eigenschaften von Kristallstrukturen systematisch und vollständig analysiert werden. Im Vortrag werden als Beispiel verschiedene Definitionen von Ringen diskutiert und Algorithmen zu ihrer Bestimmung vorgestellt. In diesen Algorithmen finden auch Methoden aus der Computeralgebra Verwendung.

Unter Ausnutzung der vorhandenen Symmetrien kann für ein Polyedernetzwerk eines Kristalls eine redundanzfreie Graphdarstellung angegeben werden, in der Knoten denjenigen Polyedern entsprechen, die einer asymmetrischen Einheit zugeordnet sind. Kanten werden mit Symmetrieoperationen benannt. Wir zeigen, wie diese Graphdarstellung benutzt werden kann, um für einige interessante Kristallklassen durch geeignete Benennung von Knoten mit Symmetrielagen systematisch alle Polyedertopologien aufzuzählen und bezüglich ihrer Einbettbarkeit im dreidimensionalen Euklidischen Raum unter vorgegebenen Bedingungen zu überprüfen.

Zum Schluss stellen wir ein System vor, das auf der Grundlage der eingeführten Graphdarstellung von Polyedernetzwerken unter Verwendung einer geeigneten Indexierungsmethode die Suche nach isomorphen Teilstrukturen von Kristallen in großen Datenmengen erlaubt.