

Lecture note 20/2003
Der Stabilitätsbegriff in der Numerik
Wolfgang Hackbusch
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Submission date: 28. Jul. 2003
Pages: 72
Bibtex
MSC-Numbers: 65L20, 65M12, 65N12, 65D32, 65D05
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Abstract:
In Kapitel 1 behandeln wir die Kondition einer Aufgabe und
die Stabilität eines Algorithmus. Hier ist die Verstärkung von
Eingabe- bzw. Gleitkommafehlern das Maß der Kondition bzw. Stabilität.
Die Begriffe bleiben aber noch vage, da zwischen Verstärkungsfaktoren der
Größenordnung 1 und großen Verstärkungsfaktoren nicht exakt
unterschieden werden kann.
In Kapitel 2 beschäftigen wir uns mit Quadraturverfahren,
genauer gesagt mit einer Familie von Quadraturen , wobei mit wachsendem
n die Qualität zunehmen soll. Letztere wird mittels der
Konsistenz beschrieben. Die Stabilität wird wieder anhand
der Eingabefehlerverstärkung definiert. Anders als in §
1 kann diese eindeutig definiert werden, da die vagen
Begriffe ``klein'' und ``groß'' dadurch ersetzt werden, dass eine Größ
e
endlich oder unendlich ist. Obwohl sich die
Stabilitätsdefinition an numerischen Phänomenen orientiert, eignet sie
sich auch für analytische Zwecke. Stabilität ist fast äquivalent
zur Konvergenz des Quadraturergebnisses
gegen das exakte Integral
Entsprechend wird analytisches Werkzeug aus der Funktionalanalysis
benötigt: der Approximationssatz von Weierstraß und der Satz von der
gleichmäßigen Beschränktheit.
Die in Kapitel 3 behandelte Interpolation folgt dem
gleichen Schema wie schon §2. In beiden Kapiteln kann man
sich die folgende Frage stellen: Auch wenn die Stabilität durch eine
Aussage der Form beschrieben wird und notwendig für
die Konvergenz ist, so sagt das wenig darüber, ob man sinnvollerweise eine
Quadratur bzw. Interpolation für ein festes n auch ohne
Stabilitätsvoraussetzung verwenden kann.
Dies ist anders in Kapitel 4, in dem es um Ein- und
Mehrschrittverfahren zur Lösung gewöhnlicher Anfangswertprobleme geht.
Bei der Berechnung der Näherungen ergibt sich fast immer die
Notwendigkeit, größere j zu verwenden (entweder weil im Grenzprozess
die Schrittweite h gegen null geht und deshalb
oder weil h konstant gehalten wird, aber y auf vielen
Gitterpunkten
approximiert werden soll).
Während bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Stabilitätsprobleme erst bei echten Mehrschrittverfahren auftreten und Einschrittverfahren stets stabil sind, ändert sich dies bei den partiellen Differentialgleichungen, die in §5 behandelt werden. Es werden Differenzenverfahren für hyperbolische und parabolische Differentialgleichungen behandelt. Stabilität drückt sich hier mittels der gleichmäßigen Beschränktheit von Potenzen des Differenzenoperators aus.
Auch im Falle elliptischer Differentialgleichungen stellt sich die Frage der Stabilität. Wie in §6 ausgeführt, besteht die Stabilität in einer schrittweiten-unabhängigen Beschränkung der Inversen des Differenzenoperators bzw. der Finite-Element-Matrix.