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Lecture Note
20/2003
Der Stabilitätsbegriff in der Numerik
Wolfgang Hackbusch
Abstract
In Kapitel 1 behandeln wir die Kondition einer Aufgabe und die Stabilität eines Algorithmus. Hier ist die Verstärkung von Eingabe- bzw. Gleitkommafehlern das Maß der Kondition bzw. Stabilität. Die Begriffe bleiben aber noch vage, da zwischen Verstärkungsfaktoren der Größenordnung 1 und großen Verstärkungsfaktoren nicht exakt unterschieden werden kann.
In Kapitel 2 beschäftigen wir uns mit Quadraturverfahren, genauer gesagt mit einer Familie von Quadraturen $Q_{n}$, wobei mit wachsendem $n$ die Qualität zunehmen soll. Letztere wird mittels der Konsistenz beschrieben. Die Stabilität wird wieder anhand der Eingabefehlerverstärkung definiert. Anders als in S1 kann diese eindeutig definiert werden, da die vagen Begriffe "klein" und "groß" dadurch ersetzt werden, dass eine Größe $\sup C_{n}$ endlich oder unendlich ist. Obwohl sich die Stabilitätsdefinition an numerischen Phänomenen orientiert, eignet sie sich auch für analytische Zwecke. Stabilität ist fast äquivalent zur Konvergenz des Quadraturergebnisses $Q_{n}(f)$ gegen das exakte Integral $\int fdx.$ Entsprechend wird analytisches Werkzeug aus der Funktionalanalysis benötigt: der Approximationssatz von Weierstrass und der Satz von der gleichmäßigen Beschränktheit.
Die in Kapitel 3 behandelte Interpolation folgt dem gleichen Schema wie schon S2. In beiden Kapiteln kann man sich die folgende Frage stellen: Auch wenn die Stabilität durch eine Aussage der Form $\sup C_{n}<\infty$ beschrieben wird und notwendig für die Konvergenz ist, so sagt das wenig darüber, ob man sinnvollerweise eine Quadratur bzw. Interpolation für ein festes $n$ auch ohne Stabilitätsvoraussetzung verwenden kann.
Dies ist anders in Kapitel 4, in dem es um Ein- und Mehrschrittverfahren zur Lösung gewöhnlicher Anfangswertprobleme geht. Bei der Berechnung der Näherungen $y(x_{0}+jh)$ ergibt sich fast immer die Notwendigkeit, größere $j$ zu verwenden (entweder weil im Grenzprozess die Schrittweite $h$ gegen null geht und deshalb $j=\left( x-x_{0}\right) /h\rightarrow\infty$ oder weil $h$ konstant gehalten wird, aber $y$ auf vielen Gitterpunkten $x_{0}+jh$ approximiert werden soll).
Während bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Stabilitätsprobleme erst bei echten Mehrschrittverfahren auftreten und Einschrittverfahren stets stabil sind, ändert sich dies bei den partiellen Differentialgleichungen, die in S5 behandelt werden. Es werden Differenzenverfahren für hyperbolische und parabolische Differentialgleichungen behandelt. Stabilität drückt sich hier mittels der gleichmässigen Beschränktheit von Potenzen des Differenzenoperators aus.
Auch im Falle elliptischer Differentialgleichungen stellt sich die Frage der Stabilität. Wie in S6 ausgeführt, besteht die Stabilität in einer schrittweiten-unabhängigen Beschränkung der Inversen des Differenzenoperators bzw. der Finite-Element-Matrix.
