Strukturierte Eigenwertprobleme in der Kontrolltheorie

Zur numerischen Lösung des Standardeigenwertproblems $\em{Ax = \lambda x}$ für $\em{A \in {\mathbb R}^{nxn}}$ wurden in den vergangenen Jahrzehnten inzwischen gut etablierte Methoden entwickelt, welche in zahlreichen (kommerziellen) Softwarepaketen zur Lösung von komplexen Anwendungsproblemen verwendet werden. In etlichen Anwendungsproblemen haben die zu lösenden Eigenwertprobleme gewisse Eigenschaften, welche die zugrunde liegenden physikalischen Eigenschaften des Ausgangsproblems widerspiegeln. Diese Eigenschaften sind oft von algebraischer Struktur, d.h., das Eigenwertproblem ist symmetrisch, oder, wie in Problemen aus der Kontrolltheorie, Hamiltonisch oder symplektisch. Standardeigenwertlöser erkennen diese speziellen Strukturen nicht; aufgrund von unvermeidlichen Rundungsfehlern zerstören sie sogar diese Strukturen und berechnen so häufig physikalisch nicht interpretierbare Lösungen. Bei symmetrischen Eigenwertproblemen sind alle Eigenwerte reell, es werden aber unter Umständen Paare komplex-konjugierter Eigenwerte berechnet. Nur die Beachtung der symmetrischen Struktur im Laufe der Berechnung garantiert die Berechnung rein reeller Eigenwerte. Zudem erlaubt die Ausnutzung der symmetrischen Struktur die Entwicklung schneller und effizienter Algorithmen, welche die Eigenwerte mit höherer Genauigkeit bestimmen. Ähnliche Probleme bereiten strukturierte Eigenwertprobleme aus der Kontrolltheorie. Auf diese spezielle Problematik und deren Lösungsansätze soll in diesem Vortrag eingegangen werden.