Gekoppelten Systemen aus starren und deformierbaren Körpern begegnet man in zahlreichen Anwendungen, darunter die Fahrzeugdynamik, die Robotik und die Biomechanik.
Im ersten Teil des Vortrags werden die im Starrkörperfall auftretenden differentiell-algebraischen Gleichungen (DAEs) diskutiert und wird in die maßgeblichen numerischen Methoden eingeführt. Als Beispiel dient die Echtzeitintegration eines Fahrzeuggespanns. Im zweiten Teil wird auf elastische Körper eingegangen und die Modellbildung auf ein instationäres Sattelpunktproblem verallgemeinert. Wie hängt dieses partielle differentiell-algebraische System (PDAE) mit dem Starrkörperfall zusammen, und welche numerischen Methoden sind geeignet? Die Antworten auf diese Fragen verbinden die FEM im Ort mit der DAE-Zeitintegration.
Beim abschließenden Simulationsbeispiel von Stromabnehmer und Kettenwerk steht die Frage der Adaptivität in Ort und Zeit im Mittelpunkt.
Bekanntlich kann ein Iterationsverfahren nur dann überlinear konvergieren, wenn es eine genügend gute Approximation des Newton-Verfahrens ist. Insofern verwundert es nicht, dass aktuelle, schnell konvergente Eigenwertalgorithmen vom shift- and invert-Typ, wie die Rayleighquotienteniteration oder das Jacobi-Davidson-Verfahren, modifizierte Newton-Verfahren sind. Im Vortrag wird dieser Zusammenhang dargestellt. Außerdem werden neue Algorithmen dieses Typs für nichtsymmetrische Eigenwertprobleme vorgestellt, die hinsichtlich der Kondition der zu lösenden Gleichungssysteme vorteilhafter sind. Diese Algorithmen beruhen auf in jüngerer Zeit entwickelten Algorithmen zur Berechnung von Verzweigungspunkten nichtlinearer Gleichungen. Abschließend wird auf Blockversionen eingegangen, die auch die Berechnung von mehrfachen Eigenwerten und Eigenwertclustern ermöglichen.
In vielen Anwendungsbereichen wie etwa der rechnergestützten Tomographie, der Bildwiederherstellung, der Datenassimilation und vielen mehr treten inverse Probleme auf, die nach Diskretisierung auf schlecht gestellte lineare Ausgleichsprobleme sehr großer Dimension führen. Diese Probleme haben sehr spezielle Eigenschaften, die eine numerische Lösung durch einfache Anwendung von Standardmethoden nicht erlauben.
Dieser Vortrag gibt anhand sehr einfacher Beispiele einen Einblick in die spezielle Natur dieser Aufgaben und einen Überblick über vorhandene numerische Verfahren und neue Entwicklungen. Insbesondere werden Regularisierungsmethoden, Krylovraumverfahren und eine Art Vorkonditionierung behandelt.
Ant Colony Optimization (ACO) ist eine vom Wegfindungsverhalten realer Ameisen inspirierte iterative Metaheuristik, die mittlerweile zur Lösung einer Vielzahl von kombinatorischen Optimierungsproblemen erfolgreich eingesetzt worden ist.
Im ersten Teil des Vortrags diskutieren wir Aspekte, die für die Anwendung von ACO wichtig sind. Dabei geht es beispielsweise um die geeignete Nutzung der Information, die zwischen den Iterationen weitergegeben wird (die sogenannte Pheromoninformation), um multikriterielle Optimierung und um Varianten von ACO-Algorithmen.
Im zweiten Teil des Vortrags stellen wir Modellierung als eine Methode vor, die dazu dient, ein besseres Verständnis der Dynamik von ACO zu gewinnen. Anhand eines deterministischen Modells zeigen wir, wie das Optimierungsverhalten in sehr komplexer Weise von der Pheromoninformation und vom Grad der Konkurrenz zwischen den Ameisen beeinflusst wird. Als Resultat dieser Untersuchungen ergeben sich praktische Vorschläge, um das Optimierungsverhalten von ACO-Algorithmen zu verbessern.
In dem Vortrag wird die genaue Funktionsweise von Credit Debt Obligations (CDOs) erörtert. Ein Schwerpunkt bildet dabei der Unterschied zu anderen Investitionsformen und die daraus resultierenden wirtschaftlichen Eigenschaften. Darüber hinaus werden neue Entwicklungen und Trends mit ihren Konsequenzen für das Pricing besprochen.
Für die numerische Simulation elastischer Körper werden die symmetrische Formulierung von Randintegralgleichungen und die daraus resultierenden Randelementmethoden beschrieben. Im ersten Teil des Vortrages wird auf einige neuere Ergebnisse zur Analysis der auftretenden Randintegraloperatoren eingegangen. Dies betrifft eine hinreichende Skalierungsbedingung für die Gewährleistung der positiven Definitheit des zweidimensionalen Einfachschichtpotentials, die Abhängigkeit der Elliptizitätskonstanten von der Querkontraktionszahl insbesondere bei fast inkompressiblem Materialverhalten sowie die Konvergenz der Neumann-Reihen zur Lösung von Randintegralgleichungen zweiter Art. Im zweiten Teil des Vortrags wird die Galerkin-Diskretisierung aller auftretenden Randintegraloperatoren beschrieben. Diese kann fast vollständig zurückgeführt werden auf die Diskretisierung von Einfach- und Doppelschichtpotential des Laplace-Operators. Dies ermöglicht dann auch den Einsatz schneller Randelementmethoden, wobei hier die schnelle Multipolmethode verwendet wird. Zur Lösung der resultierenden linearen Gleichungssysteme werden vorkonditionierte Iterationsverfahren beschrieben. Numerische Beispiele belegen die theoretischen Aussagen. Der Vortrag beruht auf gemeinsamen Arbeiten mit G. Of und W. L. Wendland.
Zur numerischen Lösung des Standardeigenwertproblems $\em{Ax = \lambda x}$ für $\em{A \in {\mathbb R}^{nxn}}$ wurden in den vergangenen Jahrzehnten inzwischen gut etablierte Methoden entwickelt, welche in zahlreichen (kommerziellen) Softwarepaketen zur Lösung von komplexen Anwendungsproblemen verwendet werden. In etlichen Anwendungsproblemen haben die zu lösenden Eigenwertprobleme gewisse Eigenschaften, welche die zugrunde liegenden physikalischen Eigenschaften des Ausgangsproblems widerspiegeln. Diese Eigenschaften sind oft von algebraischer Struktur, d.h., das Eigenwertproblem ist symmetrisch, oder, wie in Problemen aus der Kontrolltheorie, Hamiltonisch oder symplektisch. Standardeigenwertlöser erkennen diese speziellen Strukturen nicht; aufgrund von unvermeidlichen Rundungsfehlern zerstören sie sogar diese Strukturen und berechnen so häufig physikalisch nicht interpretierbare Lösungen. Bei symmetrischen Eigenwertproblemen sind alle Eigenwerte reell, es werden aber unter Umständen Paare komplex-konjugierter Eigenwerte berechnet. Nur die Beachtung der symmetrischen Struktur im Laufe der Berechnung garantiert die Berechnung rein reeller Eigenwerte. Zudem erlaubt die Ausnutzung der symmetrischen Struktur die Entwicklung schneller und effizienter Algorithmen, welche die Eigenwerte mit höherer Genauigkeit bestimmen. Ähnliche Probleme bereiten strukturierte Eigenwertprobleme aus der Kontrolltheorie. Auf diese spezielle Problematik und deren Lösungsansätze soll in diesem Vortrag eingegangen werden.
Beim Biodiversitätsschutz treten oft Fragen nach der Optimalität, Effizienz und Robustheit von Strategien auf - Konzepte, die im Operations Research traditionell eine wichtige Rolle spielen. Um die Effizienz einer Maßnahme abschätzen zu können, ist die Kenntnis ihrer (ökologischen) Wirkungen notwendig. Diese Kenntnis läßt sich sehr gut mit Hilfe ökologischer Modellierung, wie sie seit ca. 15 Jahren an der Sektion Ökologische Systemanalyse (ÖSA) des UFZ-Umweltforschungszentrums Leipzig-Halle praktiziert wird, erlangen. Wir stellen einige Beispiele aus der Forschung des UFZ vor, in denen wir für die Zukunft ein großes Potential in der Anwendung von Methoden des Operations Research in Verknüpfung mit ökologischer Modellierung sehen. Ziel dabei ist die Ableitung von effizienten und robusten Strategien für das Biodiversitätsschutz-Management.
Autoren dieser Untersuchungen sind M. Drechsler, B. Felinks, J. Groeneveld und A. Singer.
