Die modernen sporadischen Gruppen sind 21 endliche einfache Gruppen, die in den Jahren 1964-1975 im Zuge der Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen entdeckt wurden. Der Beweis dieser Klassifikation erstreckt sich nach Schätzungen Daniel Gorensteins auf ungefähr 500 Artikel von über 100 Mathematiker:innen mit einer Gesamtlänge zwischen 10.000 und 15.000 Seiten. Angesichts der Revision des umfangreichen Beweises durch Gorenstein, Lyons und Solomon ist gleichzeitig eine mathematikhistorische Aufarbeitung notwendig, um den Arbeitsprozess und die Ideenfindung der beteiligten Mathematiker:innen zu evaluieren. Dazu wird die moderne sporadische Lyons-Gruppe Ly betrachtet, benannt nach Richard Lyons. Es werden die Forschungsstränge identifiziert, die zur Entdeckung der Lyons-Gruppe geführt haben, und weitere Untersuchungen der Gruppe werden erwähnt. Abschließend wird ein Ausblick zur aktuellen mathematikhistorischen Arbeit an den modernen sporadischen Gruppen gegeben.
In this paper we prove that on a closed oriented surface, flat metrics determined by holomorphic quadratic differentials can be distinguished from other flat cone metrics by the length spectrum, or equivalently, the Liouville current.
In meiner Abschlussarbeit im Bereich analytischer Zahlentheorie, geht es um die Aufarbeitung relativ neuer Forschungsresultate von Gonek, Graham und Lee zu einer Verallgemeinerung der Lindelöfschen Vermutung, welche sich als äquivalent zur Riemannschen Vermutung herausstellt. Abhängig von der Länge die der Vortrag haben soll, werden einige inhaltliche Aspekte entweder gestrichen/gekürzt oder detaillierter ausgeführt (beispielsweise Beweise).
Nach einer Einführung der elementaren und nötigen Begriffe aus der analytischen Zahlentheorie (insbesondere zu grundlegenden Resultaten über die Riemannsche Zeta-Funktion), werde ich ausführlich über die beiden obigen Vermutungen und ihre Bedeutung sprechen. Hiernach werde ich das Hauptresultat meiner Bachelorarbeit präsentieren und ggf. eine Beweisskizze hierfür geben.
Zum Abschluss möchte ich meine eigenen Forschungsresultate in diesem Kontext präsentieren. Es war mir nämlich möglich, im Rahmen meiner Bachelorarbeit die im besagten Forschungspaper verwendete Methodik auf ein anderes Beispiel zu übertragen, und so weitere Äquivalenzen zur klassischen Lindelöfschen Vermutung zu formulieren und selbstständig zu beweisen.
In-depth understanding of the bending behavior of a membrane is often considered essential, e.g. for explaining cellular, as well as certain material properties and can lead to advancements in the fields of biology and materials science. In this thesis, two classical approaches to modeling a membrane are explored - a deterministic and a stochastic one.
We first consider a variational model for a membrane that is strongly attracted to two walls. We model the energy of such a membrane as an integral functional with a double-well potential (modeling the attraction to the two walls) and a |∆|^2-term (modeling the bending energy). We characterize optimal membrane shapes by means of Gamma-convergence.
In the stochastic setting, a membrane is modeled via a Gaussian process with covariance function being the Green's function of the Bi-Laplace operator. We show how this approach is linked to the variational model considered above via Large Deviations Principles. The incorporation of various constraints is also discussed.
Die Karriere Partner der StuKon bieten fünf parallel stattfindende Workshops an. Der Inhalt dieser Workshops kann auf dieser Sonderseite eingesehen werden.
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Interacting particle systems are countable systems of locally interacting Markov processes and are often used as toy models for stochastic phenomena with an underlying spatial structure. Even though the definition of an interacting particle system often looks very simple and the major technical issues of existence and uniqueness have long been settled, it is in general surprisingly difficult to say anything non-trivial about their behavior. Some of the main challenges deal with the long-time behavior of the systems. Because of the possible non-uniqueness of the time-stationary distribution the analysis is very delicate and various techniques have been developed to study limit theorems or attractor properties. One particular technique that will play a major role in this talk is due to Richard Holley and involves using the relative entropy functional with respect to some specification $\gamma$ as a Lyapunov function for the measure-valued differential equation that describes the time evolution of the system in the space of measures. We first explain the general idea behind the method on the simple example of a continuous time Markov chain on a finite state space and then discuss how one can extend it to irreversible interacting particle systems in infinite volumes.
Seshadri-Stratifizierungen wurden von Chirivi, Fang und Littelmann in (arXiv:2112.03776) eingeführt bei der Bemühung eine Verallgemeinerung zur Theorie der Newton-Okounkov-Körper zu finden. Da diese Entwicklung hochaktuell ist, gibt es nur wenige explizite Berechnungen von Seshadri-Stratifizierungen. Ich werde nicht nur eine Seshadri-Stratifizierung für Matrix-Schubertvarietäten konstruieren, sondern sogar zeigen, dass die in ihr auftauchenden Funktionen die Form von den aus der Darstellungstheorie bekannten Standard-Doppeltableaufunktionen annimmt.
In any Coxeter group the conjugate of elements in its Coxeter generating set are called reflections. The length of an element with respect to this expanded generating set is its reflection length.
This talk is about an explicit formula conjectured by Petra Schwer to compute reflection length in affine Coxeter groups. The authors bachelor thesis provides proofs for the conjectured formula in affine Coxeter groups of rank one and two and for one inequality in arbitrary rank. The general setting is unsolved so far.
In this talk, we consider example groups of rank one and two and develop the necessary notions as well as the statement of the conjecture alongside these examples. We see how the conjectured formula captures some of the groups’ structure and how it simplifies computation of reflection length.
We study the fractional Hardy inequality on the integers. We prove the optimality of the Hardy weight presented by Ciaurri/Roncal and hence affirmatively answer the question of sharpness of the constant.
(The thesis just provides criticality of the Hardy weight (which also already shows sharpness of the constant). We were now able to show that the weight is also null-critical, i.e., there is no minimizer, and is thus optimal. We are furthermore at the final stages of making this result publishable.)
Structured population models are partial differential equations used for, e.g., describing the evolution of cell, animal or human populations with respect to a specific structuring variable. Such models are classically studied in the space of Lebesgue integrable functions. However, in this setting, we might deal with non-existence of a (global) solution or emergence of singularities. An idea to solve these problems is to formulate the model in measures. We will introduce the general setting and present an existence result for a type of structured population models derived in the book “Spaces of Measures and their Applications to Structured Population Models” from Düll, Gwiazda, Marciniak-Czochra and Skrzeczkowski. In the end, we will look at a specific structured population model describing leukemia to show how it works in practice.
