We discuss two approaches of algebraic multigrid for the solution of linear systems. The common objective of the both approaches is to detect a submatrix of the original matrix such that its inverse is approximately sparse. The first approach is based on onstructing an adapted sparse approximate inverse of the associated leading submatrix, while the second approach directly constructs an incomplete LU decomposition. Different strategies are discussed for finding a submatrix with sparse approximate inverse.
Either case leads to an algebraic multilevel hierarchy. Numerical examples will be shown to illustrate the effectiveness of this approach.
A crucial point in portfolio credit risk modelling is that of dependence among default events.
One way of handling this is given by Generalized Linear Mixed Models (GLMMs); a well-known concept in statistics for dealing with repeated measurements on different units. This talk gives a general introduction to GLMMs with problems relating to portfolio credit risk in mind. In this setting default probabilities or default intensities are viewed as a result of both fixed effects and random effects, where the latter are the key to dependence between counter-party defaults. By choosing the random effects suitably we obtain dependence between defaults in a given year as well as dependence between defaults in consecutive years-two kinds of dependence that have been observed in empirical default data.
In 1978 E. De Giorgi conjectured that the only bounded solutions of $\Delta u = u^3 - u$ in the entire space $\mathbb R^n$ , with strictly positive derivative in one direction, are one dimentional. At least if $n \le 8$. This conjecture has been given a considerable attention in the recent years. And a weak version of it was recently proven by O. Savin. In this talk we will introduce the conjecture, discuss some of its history and show that it isn't true if $\mathbb R^n$ is changed to the upper half space $\mathbb R{^n _+}$.
Halbgeordnete semilineare Räume können Eigenschaften haben, die in halbgeordneten Vektorräumen nicht erfüllbar sind. Zum Beispiel kann ein nichttrivialer halbgeordneter Vektorraum nicht ordnungsvollständig (das heißt jede Teilmenge besitzt Supremum und Infimum) sein. Letztere Eigenschaft spielt jedoch schon in Rockafellars "Convex Analysis" eine entscheidende Rolle. Deshalb werden dort die reellen Zahlen um ein größtes und ein kleinstes Element erweitert, und zwar in einer Weise, die es erfordert, viele Ausnahmefälle zu betrachten. So muss zum Beispiel in der Jensenschen Ungleichung der Fall [[n.n.]] ausgeschlossen werden und bei der Definition der Summe konvexer Funktionen muss man sich auf eigentliche Funktionen beschränken. Es scheint daher günstiger zu sein, die semilineare Struktur der um f(x) =- ∞ erweiterten reellen Zahlen auszunutzen. Semilineare Strukturen spielen aber auch in der mengenwertigen Optimierung eine Rolle.
Für erweitert reellwertige konvexe Funktionen gilt der folgende Satz: Eine konvexe Funktion ±∞ mit einem Funktionswert f : X → [ -∞, +∞] in einem Punkt f(x0) > -∞ nimmt nirgends in X den Wert x0 ∈ core (dom f) an.
Aus einem entsprechendem Satz für konvexe Funktionen mit Werten in semilinearen Räumen werden neben dem genannten Satz ein Theorem von Deutsch und Singer (1993) über die Punktwertigkeit konvexer mengenwertiger Abbildungen sowie weitere neue Aussagen über die Kompaktwertigkeit konvexer mengenwertiger Abbildungen abgeleitet.
For studying critical points of optimization and equilibrium problems with inequality constraints and (more or less) smooth data, the traditional way is to consider them as solutions of Kuhn-Tucker type systems or of normal cone inclusions. We prefer to use a direct, analytical approach for characterizing such points: namely as zeros of certain locally Lipshitz properties of critical point and stationary/optimal solution mappings. In particular, we give characterizations of strong regularity and of local upper Lipshitz behavior by certain properties of associated quadratic auxiliary problems and outline the interconnection with injectivity properties of suitable generalized directional derivatives. Applications of these regularity concepts in the analysis of marginal values and iterated minimization schemes are presented.
Reference:D. Klatte and B. Kummer. Nonsmooth Equations in Optimization - Regularity, Calculus, Methods and Applications, Kluwer, 2002; in particular, Chapter 7 and 8.
A parameter estimation problem with noisy data is considered which arises as an inverse problem in groundwater filtration. It turns out that this problem can be formulated as a linear non-compact ill-posed problem in appropriate Hilbert spaces, with an operator perturbation that can be estimated only at the solution of the problem.
Those problems are treated in a general setting and are numerically solved by the CGNR method, this is, the classical conjugate gradient method by Hestenes and Stiefel applied to the associated normal equations.
An a posteriori stopping rules is introduced to obtain stable numerical solutions, and convergence results are provided for the corresponding approximations.
Finally, numerical illustrations with the CGNR method applied to a non-compact linear perturbed test problem are provided.
Die quantitative Modellierung dynamischer Prozesse ist eine anspruchsvolle Aufgabe, die in verschiedenen Stufen die Lösung von Optimierungsaufgaben erfordert. Im Vortrag werden die Eigenschaften solcher Optimierungsprobleme erläutert und neuere numerische Verfahren zu ihrer Lösung beschrieben.
Schwerpunkte liegen auf Mehrzielverfahren und beschränkten Gauß-Newton-Verfahren zur Lösung von hochdimensionalen Schätzproblemen in differential-algebraischen und partiellen Differentialgleichungssystemen und strukturierten Verfahren der sequentiellen quadratischen Optimierung zur Bestimmung von Experimentauslegungen und -führungen, die den Informationsgewinn maximieren.
Anwendungen der Verfahren auf Prozesse der chemischen Reaktionskinetik und den Transport und Abbau von Xenobiotika in Böden werden diskutiert.
